Theorem uzdisj 10454

Description: The first N elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzdisj	|- ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = (/)

Proof of Theorem uzdisj

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3406	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2	1	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
3		eluzle 9889	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ k )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ k )
5		eluzel2 9881	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
7		eluzelz 9886	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ZZ )
9		zlem1lt 9656	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k <-> ( N - 1 ) < k ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N <_ k <-> ( N - 1 ) < k ) )
11	4, 10	mpbid 147	. . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N - 1 ) < k )
12	1	simplbi 274	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
13		elfzle2 10387	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k <_ ( N - 1 ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k <_ ( N - 1 ) )
15	8	zred 9723	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. RR )
16		peano2zm 9637	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
17	6, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
18	17	zred 9723	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
19	15, 18	lenltd 8410	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k <_ ( N - 1 ) <-> -. ( N - 1 ) < k ) )
20	14, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> -. ( N - 1 ) < k )
21	11, 20	pm2.21dd 625	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. (/) )
22	21	ssriv 3246	. 2 |- ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) C_ (/)
23		ss0 3553	. 2 |- ( ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) C_ (/) -> ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = (/) )
24	22, 23	ax-mp 5	1 |- ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   class class class wbr 4115   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   1c1 8146   < clt 8326   <_ cle 8327   - cmin 8463   ZZcz 9599   ZZ>=cuz 9876   ...cfz 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367

This theorem is referenced by:  2prm  12855