ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzdisj Unicode version

Theorem uzdisj 9813
Description: The first  N elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3227 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
21simprbi 271 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 eluzle 9287 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
5 eluzel2 9280 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
62, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzelz 9284 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
82, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ZZ )
9 zlem1lt 9061 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  -  1 )  <  k ) )
106, 8, 9syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  - 
1 )  <  k
) )
114, 10mpbid 146 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  < 
k )
121simplbi 270 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
13 elfzle2 9748 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
1412, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
158zred 9124 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
16 peano2zm 9043 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
176, 16syl 14 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
1817zred 9124 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1915, 18lenltd 7844 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  < 
k ) )
2014, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  ( N  -  1 )  <  k )
2111, 20pm2.21dd 592 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  (/) )
2221ssriv 3069 . 2  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  C_  (/)
23 ss0 3371 . 2  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  C_  (/) 
->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  ( ZZ>=
`  N ) )  =  (/) )
2422, 23ax-mp 5 1  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731
This theorem is referenced by:  2prm  11704
  Copyright terms: Public domain W3C validator