Theorem uzdisj 10049

Description: The first N elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzdisj	|- ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = (/)

Proof of Theorem uzdisj

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3310	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
2	1	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
3		eluzle 9499	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ k )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ k )
5		eluzel2 9492	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
6	2, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
7		eluzelz 9496	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
8	2, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ZZ )
9		zlem1lt 9268	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k <-> ( N - 1 ) < k ) )
10	6, 8, 9	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N <_ k <-> ( N - 1 ) < k ) )
11	4, 10	mpbid 146	. . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N - 1 ) < k )
12	1	simplbi 272	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
13		elfzle2 9984	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k <_ ( N - 1 ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k <_ ( N - 1 ) )
15	8	zred 9334	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. RR )
16		peano2zm 9250	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
17	6, 16	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
18	17	zred 9334	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
19	15, 18	lenltd 8037	. . . . 5 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k <_ ( N - 1 ) <-> -. ( N - 1 ) < k ) )
20	14, 19	mpbid 146	. . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> -. ( N - 1 ) < k )
21	11, 20	pm2.21dd 615	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. (/) )
22	21	ssriv 3151	. 2 |- ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) C_ (/)
23		ss0 3455	. 2 |- ( ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) C_ (/) -> ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = (/) )
24	22, 23	ax-mp 5	1 |- ( ( M ... ( N - 1 ) ) i^i ( ZZ>= ` N ) ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  2prm  12081