ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uznfz GIF version

Theorem uznfz 9890
Description: Disjointness of the upper integers and a finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
uznfz (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem uznfz
StepHypRef Expression
1 eluzle 9345 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2 eluzel2 9338 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzel1 9812 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 elfzm11 9878 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
5 simp3 983 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
64, 5syl6bi 162 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 < 𝑁))
76impancom 258 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 < 𝑁))
83, 7mpancom 418 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 < 𝑁))
92, 8syl5com 29 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 < 𝑁))
10 eluzelz 9342 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 zltnle 9107 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐾))
1210, 2, 11syl2anc 408 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐾))
139, 12sylibd 148 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑁𝐾))
141, 13mt2d 614 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  1c1 7628   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940  cz 9061  cuz 9333  ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by:  sumrbdclem  11153  prodrbdclem  11347
  Copyright terms: Public domain W3C validator