Theorem usgredg2v 16043

Description: In a simple graph, the mapping of edges having a fixed endpoint to the other vertex of the edge is a one-to-one function into the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
usgredg2v.f	|- F = ( y e. A |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )

Assertion

Ref	Expression
usgredg2v	|- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-> V )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   y, A   y, E, x, z   y, G   y, N   y, V

Allowed substitution hints:   A( x, z)   F( x, y, z)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2v

Dummy variables w u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2v.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		usgredg2v.e	. . . . 5 |- E = (iEdg ` G )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	1, 2, 3	usgredg2vlem1 16041	. . . 4 |- ( ( G e. USGraph /\ y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
5	4	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( G e. USGraph -> A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
8		preq1 3743	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> { u , N } = { z , N } )
9	8	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( E ` y ) = { u , N } <-> ( E ` y ) = { z , N } ) )
10	9	cbvriotavw 5974	. . . . . . . 8 |- ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } )
11	8	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( E ` w ) = { u , N } <-> ( E ` w ) = { z , N } ) )
12	11	cbvriotavw 5974	. . . . . . . 8 |- ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } )
13	7, 10, 12	3eqtr4g 2287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) )
14		eqid 2229	. . . . . . 7 |- N = N
15	13, 14	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) )
16	15	orcd 738	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) )
17		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> G e. USGraph )
18		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> y e. A )
19	17, 18	anim12i 338	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( G e. USGraph /\ y e. A ) )
20	1, 2, 3	usgredg2vlem2 16042	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ y e. A ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) -> ( E ` y ) = { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } ) )
21	19, 10, 20	mpisyl 1489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( E ` y ) = { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } )
22		an3 589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( G e. USGraph /\ w e. A ) )
23	1, 2, 3	usgredg2vlem2 16042	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ w e. A ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> ( E ` w ) = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
24	22, 12, 23	mpisyl 1489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( E ` w ) = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } )
25	21, 24	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
26	2	usgrf1 15994	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> E : dom E -1-1-> ran E )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
28		elrabi 2956	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -> y e. dom E )
29	28, 3	eleq2s 2324	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. dom E )
30		elrabi 2956	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -> w e. dom E )
31	30, 3	eleq2s 2324	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A -> w e. dom E )
32	29, 31	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> ( y e. dom E /\ w e. dom E ) )
33		f1fveq 5905	. . . . . . . 8 |- ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ ( y e. dom E /\ w e. dom E ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> y = w ) )
34	27, 32, 33	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> y = w ) )
35		vtxex 15840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USGraph -> (Vtx ` G ) e. _V )
36	1, 35	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. USGraph -> V e. _V )
37		riotaexg 5967	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. _V -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
40		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> N e. V )
41		riotaexg 5967	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. _V -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
42	36, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
44		preq12bg 3851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V /\ N e. V ) /\ ( ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V /\ N e. V ) ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
45	39, 40, 43, 40, 44	syl22anc 1272	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
47	25, 34, 46	3bitr3d 218	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( y = w <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( y = w <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
49	16, 48	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> y = w )
50	49	ex 115	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) )
51	50	ralrimivva 2612	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> A. y e. A A. w e. A ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) )
52		usgredg2v.f	. . 3 |- F = ( y e. A |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )
53		fveqeq2 5641	. . . 4 |- ( y = w -> ( ( E ` y ) = { z , N } <-> ( E ` w ) = { z , N } ) )
54	53	riotabidv 5965	. . 3 |- ( y = w -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
55	52, 54	f1mpt 5904	. 2 |- ( F : A -1-1-> V <-> ( A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V /\ A. y e. A A. w e. A ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) ) )
56	6, 51, 55	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-> V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   {cpr 3667   |-> cmpt 4145   dom cdm 4720   ran crn 4721   -1-1->wf1 5318   ` cfv 5321   iota_crio 5962  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  USGraphcusgr 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-edg 15880  df-umgren 15915  df-usgren 15975

This theorem is referenced by:  usgriedgdomord  16044