Theorem usgredg2v 16078

Description: In a simple graph, the mapping of edges having a fixed endpoint to the other vertex of the edge is a one-to-one function into the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )
usgredg2v.a	|- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
usgredg2v.f	|- F = ( y e. A |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )

Assertion

Ref	Expression
usgredg2v	|- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-> V )

Distinct variable groups:   x, E, z   z, G   x, N, z   z, V   y, A   y, E, x, z   y, G   y, N   y, V

Allowed substitution hints:   A( x, z)   F( x, y, z)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem usgredg2v

Dummy variables w u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2v.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		usgredg2v.e	. . . . 5 |- E = (iEdg ` G )
3		usgredg2v.a	. . . . 5 |- A = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
4	1, 2, 3	usgredg2vlem1 16076	. . . 4 |- ( ( G e. USGraph /\ y e. A ) -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
5	4	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( G e. USGraph -> A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
8		preq1 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> { u , N } = { z , N } )
9	8	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( E ` y ) = { u , N } <-> ( E ` y ) = { z , N } ) )
10	9	cbvriotavw 5982	. . . . . . . 8 |- ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } )
11	8	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( ( E ` w ) = { u , N } <-> ( E ` w ) = { z , N } ) )
12	11	cbvriotavw 5982	. . . . . . . 8 |- ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } )
13	7, 10, 12	3eqtr4g 2289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) )
14		eqid 2231	. . . . . . 7 |- N = N
15	13, 14	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) )
16	15	orcd 740	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) )
17		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> G e. USGraph )
18		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> y e. A )
19	17, 18	anim12i 338	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( G e. USGraph /\ y e. A ) )
20	1, 2, 3	usgredg2vlem2 16077	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ y e. A ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) -> ( E ` y ) = { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } ) )
21	19, 10, 20	mpisyl 1491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( E ` y ) = { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } )
22		an3 591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( G e. USGraph /\ w e. A ) )
23	1, 2, 3	usgredg2vlem2 16077	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ w e. A ) -> ( ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> ( E ` w ) = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
24	22, 12, 23	mpisyl 1491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( E ` w ) = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } )
25	21, 24	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } ) )
26	2	usgrf1 16029	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> E : dom E -1-1-> ran E )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
28		elrabi 2959	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -> y e. dom E )
29	28, 3	eleq2s 2326	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. dom E )
30		elrabi 2959	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -> w e. dom E )
31	30, 3	eleq2s 2326	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A -> w e. dom E )
32	29, 31	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ w e. A ) -> ( y e. dom E /\ w e. dom E ) )
33		f1fveq 5913	. . . . . . . 8 |- ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ ( y e. dom E /\ w e. dom E ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> y = w ) )
34	27, 32, 33	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` w ) <-> y = w ) )
35		vtxex 15872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USGraph -> (Vtx ` G ) e. _V )
36	1, 35	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. USGraph -> V e. _V )
37		riotaexg 5975	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. _V -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V )
40		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> N e. V )
41		riotaexg 5975	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. _V -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
42	36, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V )
44		preq12bg 3856	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) e. _V /\ N e. V ) /\ ( ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) e. _V /\ N e. V ) ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
45	39, 40, 43, 40, 44	syl22anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( { ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) , N } = { ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) , N } <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
47	25, 34, 46	3bitr3d 218	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( y = w <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> ( y = w <-> ( ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) /\ N = N ) \/ ( ( iota_ u e. V ( E ` y ) = { u , N } ) = N /\ N = ( iota_ u e. V ( E ` w ) = { u , N } ) ) ) ) )
49	16, 48	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) /\ ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) ) -> y = w )
50	49	ex 115	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) /\ ( y e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) )
51	50	ralrimivva 2614	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> A. y e. A A. w e. A ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) )
52		usgredg2v.f	. . 3 |- F = ( y e. A |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )
53		fveqeq2 5648	. . . 4 |- ( y = w -> ( ( E ` y ) = { z , N } <-> ( E ` w ) = { z , N } ) )
54	53	riotabidv 5973	. . 3 |- ( y = w -> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) )
55	52, 54	f1mpt 5912	. 2 |- ( F : A -1-1-> V <-> ( A. y e. A ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) e. V /\ A. y e. A A. w e. A ( ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) = ( iota_ z e. V ( E ` w ) = { z , N } ) -> y = w ) ) )
56	6, 51, 55	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-> V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   {cpr 3670   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   ran crn 4726   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   iota_crio 5970  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  USGraphcusgr 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-edg 15912  df-umgren 15948  df-usgren 16010

This theorem is referenced by:  usgriedgdomord  16079