Theorem eupthvdres 16353

Description: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	|- V = (Vtx ` G )
eupthvdres.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthvdres.g	|- ( ph -> G e. W )
eupthvdres.f	|- ( ph -> Fun I )
eupthvdres.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthvdres.h	|- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >.

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	|- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 |- ( ph -> G e. W )
2		eupthvdres.h	. . 3 |- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >.
3		eupthvdres.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxex 15896	. . . . . 6 |- ( G e. W -> (Vtx ` G ) e. _V )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. _V )
6	3, 5	eqeltrid 2318	. . . 4 |- ( ph -> V e. _V )
7		eupthvdres.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		iedgex 15897	. . . . . . 7 |- ( G e. W -> (iEdg ` G ) e. _V )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) e. _V )
10	7, 9	eqeltrid 2318	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11		resexg 5053	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V )
13		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. e. _V )
14	6, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. e. _V )
15	2, 14	eqeltrid 2318	. 2 |- ( ph -> H e. _V )
16	2	fveq2i 5643	. . . 4 |- (Vtx ` H ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. )
17		opvtxfv 15900	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = V )
18	6, 12, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = V )
19	16, 18	eqtrid 2276	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = V )
20	19, 3	eqtrdi 2280	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = (Vtx ` G ) )
21	2	fveq2i 5643	. . . . 5 |- (iEdg ` H ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. )
22		opiedgfv 15903	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
23	6, 12, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
24	21, 23	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
25		eupthvdres.p	. . . . . 6 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
26	7	eupthf1o 16328	. . . . . 6 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I )
27		f1ofo 5591	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -onto-> dom I )
28		foima 5565	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -onto-> dom I -> ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) = dom I )
29	25, 26, 27, 28	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) = dom I )
30	29	reseq2d 5013	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) = ( I |` dom I ) )
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun I )
32	31	funfnd 5357	. . . . 5 |- ( ph -> I Fn dom I )
33		fnresdm 5441	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( I |` dom I ) = I )
34	32, 33	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` dom I ) = I )
35	24, 30, 34	3eqtrd 2268	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = I )
36	35, 7	eqtrdi 2280	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = (iEdg ` G ) )
37	1, 15, 20, 36	vtxdeqd 16174	1 |- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   |` cres 4727   "cima 4728   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   0cc0 8035  ..^cfzo 10380  ♯chash 11041  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  VtxDegcvtxdg 16164  EulerPathsceupth 16320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-er 6705  df-map 6822  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-z 9483  df-dec 9615  df-uz 9759  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-ihash 11042  df-word 11121  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-vtxdg 16165  df-wlks 16196  df-trls 16259  df-eupth 16321

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16357