Theorem eupthvdres 16596

Description: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	|- V = (Vtx ` G )
eupthvdres.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthvdres.g	|- ( ph -> G e. W )
eupthvdres.f	|- ( ph -> Fun I )
eupthvdres.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthvdres.h	|- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >.

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	|- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 |- ( ph -> G e. W )
2		eupthvdres.h	. . 3 |- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >.
3		eupthvdres.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxex 16139	. . . . . 6 |- ( G e. W -> (Vtx ` G ) e. _V )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. _V )
6	3, 5	eqeltrid 2321	. . . 4 |- ( ph -> V e. _V )
7		eupthvdres.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		iedgex 16140	. . . . . . 7 |- ( G e. W -> (iEdg ` G ) e. _V )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) e. _V )
10	7, 9	eqeltrid 2321	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11		resexg 5083	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V )
13		opexg 4349	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. e. _V )
14	6, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. e. _V )
15	2, 14	eqeltrid 2321	. 2 |- ( ph -> H e. _V )
16	2	fveq2i 5678	. . . 4 |- (Vtx ` H ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. )
17		opvtxfv 16143	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = V )
18	6, 12, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = V )
19	16, 18	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = V )
20	19, 3	eqtrdi 2283	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = (Vtx ` G ) )
21	2	fveq2i 5678	. . . . 5 |- (iEdg ` H ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. )
22		opiedgfv 16146	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
23	6, 12, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
24	21, 23	eqtrid 2279	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
25		eupthvdres.p	. . . . . 6 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
26	7	eupthf1o 16571	. . . . . 6 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I )
27		f1ofo 5626	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -onto-> dom I )
28		foima 5600	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -onto-> dom I -> ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) = dom I )
29	25, 26, 27, 28	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) = dom I )
30	29	reseq2d 5043	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) = ( I |` dom I ) )
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun I )
32	31	funfnd 5388	. . . . 5 |- ( ph -> I Fn dom I )
33		fnresdm 5472	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( I |` dom I ) = I )
34	32, 33	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` dom I ) = I )
35	24, 30, 34	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = I )
36	35, 7	eqtrdi 2283	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = (iEdg ` G ) )
37	1, 15, 20, 36	vtxdeqd 16417	1 |- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   |` cres 4756   "cima 4757   Fun wfun 5351   Fn wfn 5352   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  VtxDegcvtxdg 16407  EulerPathsceupth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-vtxdg 16408  df-wlks 16439  df-trls 16502  df-eupth 16564

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16600