Theorem eupthvdres 16457

Description: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	|- V = (Vtx ` G )
eupthvdres.i	|- I = (iEdg ` G )
eupthvdres.g	|- ( ph -> G e. W )
eupthvdres.f	|- ( ph -> Fun I )
eupthvdres.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupthvdres.h	|- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >.

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	|- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 |- ( ph -> G e. W )
2		eupthvdres.h	. . 3 |- H = <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >.
3		eupthvdres.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxex 16000	. . . . . 6 |- ( G e. W -> (Vtx ` G ) e. _V )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. _V )
6	3, 5	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( ph -> V e. _V )
7		eupthvdres.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		iedgex 16001	. . . . . . 7 |- ( G e. W -> (iEdg ` G ) e. _V )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) e. _V )
10	7, 9	eqeltrid 2319	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11		resexg 5077	. . . . 5 |- ( I e. _V -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V )
13		opexg 4343	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. e. _V )
14	6, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. e. _V )
15	2, 14	eqeltrid 2319	. 2 |- ( ph -> H e. _V )
16	2	fveq2i 5672	. . . 4 |- (Vtx ` H ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. )
17		opvtxfv 16004	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = V )
18	6, 12, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = V )
19	16, 18	eqtrid 2277	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = V )
20	19, 3	eqtrdi 2281	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` H ) = (Vtx ` G ) )
21	2	fveq2i 5672	. . . . 5 |- (iEdg ` H ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. )
22		opiedgfv 16007	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
23	6, 12, 22	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
24	21, 23	eqtrid 2277	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) )
25		eupthvdres.p	. . . . . 6 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
26	7	eupthf1o 16432	. . . . . 6 |- ( F (EulerPaths ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I )
27		f1ofo 5620	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-onto-> dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -onto-> dom I )
28		foima 5594	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -onto-> dom I -> ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) = dom I )
29	25, 26, 27, 28	4syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) = dom I )
30	29	reseq2d 5037	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) ) = ( I |` dom I ) )
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun I )
32	31	funfnd 5382	. . . . 5 |- ( ph -> I Fn dom I )
33		fnresdm 5466	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( I |` dom I ) = I )
34	32, 33	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( I |` dom I ) = I )
35	24, 30, 34	3eqtrd 2269	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = I )
36	35, 7	eqtrdi 2281	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` H ) = (iEdg ` G ) )
37	1, 15, 20, 36	vtxdeqd 16278	1 |- ( ph -> (VtxDeg ` H ) = (VtxDeg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   <.cop 3691   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   |` cres 4750   "cima 4751   Fun wfun 5345   Fn wfn 5346   -onto->wfo 5349   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   0cc0 8123  ..^cfzo 10472  ♯chash 11133  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  VtxDegcvtxdg 16268  EulerPathsceupth 16424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-word 11218  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-vtxdg 16269  df-wlks 16300  df-trls 16363  df-eupth 16425

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16461