Theorem usgriedgdomord 16143

Description: Alternate version of usgredgdomord 16148, not using the notation (Edg ` G ). In a simple graph the number of edges which contain a given vertex is not greater than the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
usgredg2v.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgriedgdomord	|- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } ~<_ V )

Distinct variable groups:   x, E   x, N

Allowed substitution hints:   G( x)   V( x)

Proof of Theorem usgriedgdomord

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2v.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		vtxex 15936	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> (Vtx ` G ) e. _V )
3	1, 2	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( G e. USGraph -> V e. _V )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> V e. _V )
5		usgredg2v.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
6		eqid 2231	. . 3 |- { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } = { x e. dom E | N e. ( E ` x ) }
7		eqid 2231	. . 3 |- ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) ) = ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) )
8	1, 5, 6, 7	usgredg2v 16142	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) ) : { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -1-1-> V )
9		f1domg 6974	. 2 |- ( V e. _V -> ( ( y e. { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } |-> ( iota_ z e. V ( E ` y ) = { z , N } ) ) : { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } -1-1-> V -> { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } ~<_ V ) )
10	4, 8, 9	sylc 62	1 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> { x e. dom E | N e. ( E ` x ) } ~<_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   {cpr 3674   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   dom cdm 4731   -1-1->wf1 5330   ` cfv 5333   iota_crio 5980   ~<_ cdom 6951  Vtxcvtx 15930  iEdgciedg 15931  USGraphcusgr 16072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-sub 8395  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-dec 9655  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15923  df-vtx 15932  df-iedg 15933  df-edg 15976  df-umgren 16012  df-usgren 16074

This theorem is referenced by: (None)