Theorem clwwlkg 16317

Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlk.v	|- V = (Vtx ` G )
clwwlk.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkg	|- ( G e. W -> (ClWWalks ` G ) = { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } )

Distinct variable groups:   i, G, w   w, V

Allowed substitution hints:   E( w, i)   V( i)   W( w, i)

Proof of Theorem clwwlkg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlk 16316	. 2 |- ClWWalks = ( g e. _V |-> { w e. Word (Vtx ` g ) | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) ) } )
2		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( g = G -> (Vtx ` g ) = (Vtx ` G ) )
3		clwwlk.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4	2, 3	eqtr4di 2282	. . . 4 |- ( g = G -> (Vtx ` g ) = V )
5		wrdeq 11184	. . . 4 |- ( (Vtx ` g ) = V -> Word (Vtx ` g ) = Word V )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( g = G -> Word (Vtx ` g ) = Word V )
7		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( g = G -> (Edg ` g ) = (Edg ` G ) )
8		clwwlk.e	. . . . . . 7 |- E = (Edg ` G )
9	7, 8	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( g = G -> (Edg ` g ) = E )
10	9	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( g = G -> ( { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) <-> { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
11	10	ralbidv 2533	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) <-> A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
12	9	eleq2d 2301	. . . 4 |- ( g = G -> ( { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) <-> { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) )
13	11, 12	3anbi23d 1352	. . 3 |- ( g = G -> ( ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) ) <-> ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) ) )
14	6, 13	rabeqbidv 2798	. 2 |- ( g = G -> { w e. Word (Vtx ` g ) | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) ) } = { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } )
15		elex 2815	. 2 |- ( G e. W -> G e. _V )
16		vtxex 15942	. . . 4 |- ( G e. W -> (Vtx ` G ) e. _V )
17	3, 16	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( G e. W -> V e. _V )
18		wrdexg 11173	. . 3 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
19		rabexg 4238	. . 3 |- (Word V e. _V -> { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } e. _V )
20	17, 18, 19	3syl 17	. 2 |- ( G e. W -> { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } e. _V )
21	1, 14, 15, 20	fvmptd3 5749	1 |- ( G e. W -> (ClWWalks ` G ) = { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   {cpr 3674   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   - cmin 8392  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083  Word cword 11162  lastSclsw 11207  Vtxcvtx 15936  Edgcedg 15981  ClWWalkscclwwlk 16315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-word 11163  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-vtx 15938  df-clwwlk 16316

This theorem is referenced by:  isclwwlk  16318