Theorem clwwlkg 16548

Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlk.v	|- V = (Vtx ` G )
clwwlk.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkg	|- ( G e. W -> (ClWWalks ` G ) = { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } )

Distinct variable groups:   i, G, w   w, V

Allowed substitution hints:   E( w, i)   V( i)   W( w, i)

Proof of Theorem clwwlkg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlk 16547	. 2 |- ClWWalks = ( g e. _V |-> { w e. Word (Vtx ` g ) | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) ) } )
2		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( g = G -> (Vtx ` g ) = (Vtx ` G ) )
3		clwwlk.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
4	2, 3	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( g = G -> (Vtx ` g ) = V )
5		wrdeq 11304	. . . 4 |- ( (Vtx ` g ) = V -> Word (Vtx ` g ) = Word V )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( g = G -> Word (Vtx ` g ) = Word V )
7		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( g = G -> (Edg ` g ) = (Edg ` G ) )
8		clwwlk.e	. . . . . . 7 |- E = (Edg ` G )
9	7, 8	eqtr4di 2289	. . . . . 6 |- ( g = G -> (Edg ` g ) = E )
10	9	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( g = G -> ( { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) <-> { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
11	10	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) <-> A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E ) )
12	9	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( g = G -> ( { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) <-> { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) )
13	11, 12	3anbi23d 1356	. . 3 |- ( g = G -> ( ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) ) <-> ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) ) )
14	6, 13	rabeqbidv 2816	. 2 |- ( g = G -> { w e. Word (Vtx ` g ) | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` g ) /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. (Edg ` g ) ) } = { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } )
15		elex 2833	. 2 |- ( G e. W -> G e. _V )
16		vtxex 16173	. . . 4 |- ( G e. W -> (Vtx ` G ) e. _V )
17	3, 16	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( G e. W -> V e. _V )
18		wrdexg 11293	. . 3 |- ( V e. _V -> Word V e. _V )
19		rabexg 4274	. . 3 |- (Word V e. _V -> { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } e. _V )
20	17, 18, 19	3syl 17	. 2 |- ( G e. W -> { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } e. _V )
21	1, 14, 15, 20	fvmptd3 5793	1 |- ( G e. W -> (ClWWalks ` G ) = { w e. Word V | ( w =/= (/) /\ A. i e. ( 0..^ ( (♯ ` w ) - 1 ) ) { ( w ` i ) , ( w ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { (lastS ` w ) , ( w ` 0 ) } e. E ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {cpr 3706   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282  lastSclsw 11327  Vtxcvtx 16167  Edgcedg 16212  ClWWalkscclwwlk 16546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-word 11283  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169  df-clwwlk 16547

This theorem is referenced by:  isclwwlk  16549