Theorem vtxex 16142

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 16140	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
2		1stexg 6374	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐺) ∈ V)
3		basfn 13358	. . . 4 ⊢ Base Fn V
4		elex 2827	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		funfvex 5692	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
6	5	funfni 5463	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
8	2, 7	ifexd 4610	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2311	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ifcif 3624   × cxp 4752   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  1^st c1st 6345  Basecbs 13299  Vtxcvtx 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365  df-1st 6347  df-inn 9258  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-vtx 16138

This theorem is referenced by:  isuhgrm  16195  isushgrm  16196  uhgrunop  16211  incistruhgr  16214  isupgren  16219  upgrop  16228  isumgren  16229  upgrunop  16251  umgrunop  16253  isuspgren  16281  isusgren  16282  usgrop  16290  usgrausgrien  16293  ausgrumgrien  16294  ausgrusgrien  16295  usgredg2v  16348  usgriedgdomord  16349  uspgredgdomord  16353  uhgrspanop  16406  upgrspanop  16407  umgrspanop  16408  usgrspanop  16409  vtxdgfval  16412  vtxdgop  16416  wksfval  16446  wlkex  16449  clwwlkg  16517  clwwlkex  16522  clwwlknonmpo  16552  eupthvdres  16599