Theorem vtxex 15898

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 15896	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
2		1stexg 6335	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐺) ∈ V)
3		basfn 13164	. . . 4 ⊢ Base Fn V
4		elex 2813	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		funfvex 5659	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
6	5	funfni 5434	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
8	2, 7	ifexd 4583	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2307	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801  ifcif 3604   × cxp 4725   Fn wfn 5323  ‘cfv 5328  1^st c1st 6306  Basecbs 13105  Vtxcvtx 15892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fo 5334  df-fv 5336  df-1st 6308  df-inn 9149  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-vtx 15894

This theorem is referenced by:  isuhgrm  15951  isushgrm  15952  uhgrunop  15967  incistruhgr  15970  isupgren  15975  upgrop  15984  isumgren  15985  upgrunop  16007  umgrunop  16009  isuspgren  16037  isusgren  16038  usgrop  16046  usgrausgrien  16049  ausgrumgrien  16050  ausgrusgrien  16051  usgredg2v  16104  usgriedgdomord  16105  uspgredgdomord  16109  uhgrspanop  16162  upgrspanop  16163  umgrspanop  16164  usgrspanop  16165  vtxdgfval  16168  vtxdgop  16172  wksfval  16202  wlkex  16205  clwwlkg  16273  clwwlkex  16278  clwwlknonmpo  16308  eupthvdres  16355