Theorem vtxex 16476

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 16474	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
2		1stexg 6405	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐺) ∈ V)
3		basfn 13470	. . . 4 ⊢ Base Fn V
4		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		funfvex 5715	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
6	5	funfni 5486	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
8	2, 7	ifexd 4632	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  1^st c1st 6376  Basecbs 13411  Vtxcvtx 16470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-1st 6378  df-inn 9315  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-vtx 16472

This theorem is used by:  isuhgrm  16529  isushgrm  16530  uhgrunop  16545  incistruhgr  16548  isupgren  16553  upgrop  16562  isumgren  16563  upgrunop  16585  umgrunop  16587  isuspgren  16615  isusgren  16616  usgrop  16624  usgrausgrien  16627  ausgrumgrien  16628  ausgrusgrien  16629  usgredg2v  16682  usgriedgdomord  16683  uspgredgdomord  16687  uhgrspanop  16740  upgrspanop  16741  umgrspanop  16742  usgrspanop  16743  vtxdgfval  16746  vtxdgop  16750  wksfval  16780  wlkex  16783  clwwlkg  16851  clwwlkex  16856  clwwlknonmpo  16886  eupthvdres  16933