Theorem vtxex 16062

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 16060	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
2		1stexg 6363	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐺) ∈ V)
3		basfn 13292	. . . 4 ⊢ Base Fn V
4		elex 2827	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		funfvex 5689	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
6	5	funfni 5460	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
8	2, 7	ifexd 4607	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2311	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ifcif 3622   × cxp 4749   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  1^st c1st 6334  Basecbs 13233  Vtxcvtx 16056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fo 5360  df-fv 5362  df-1st 6336  df-inn 9243  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-vtx 16058

This theorem is referenced by:  isuhgrm  16115  isushgrm  16116  uhgrunop  16131  incistruhgr  16134  isupgren  16139  upgrop  16148  isumgren  16149  upgrunop  16171  umgrunop  16173  isuspgren  16201  isusgren  16202  usgrop  16210  usgrausgrien  16213  ausgrumgrien  16214  ausgrusgrien  16215  usgredg2v  16268  usgriedgdomord  16269  uspgredgdomord  16273  uhgrspanop  16326  upgrspanop  16327  umgrspanop  16328  usgrspanop  16329  vtxdgfval  16332  vtxdgop  16336  wksfval  16366  wlkex  16369  clwwlkg  16437  clwwlkex  16442  clwwlknonmpo  16472  eupthvdres  16519