Theorem vtxex 16430

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 16428	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
2		1stexg 6401	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (1st ‘𝐺) ∈ V)
3		basfn 13463	. . . 4 ⊢ Base Fn V
4		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
5		funfvex 5712	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
6	5	funfni 5483	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
8	2, 7	ifexd 4630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  1^st c1st 6372  Basecbs 13404  Vtxcvtx 16424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-1st 6374  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-vtx 16426

This theorem is used by:  isuhgrm  16483  isushgrm  16484  uhgrunop  16499  incistruhgr  16502  isupgren  16507  upgrop  16516  isumgren  16517  upgrunop  16539  umgrunop  16541  isuspgren  16569  isusgren  16570  usgrop  16578  usgrausgrien  16581  ausgrumgrien  16582  ausgrusgrien  16583  usgredg2v  16636  usgriedgdomord  16637  uspgredgdomord  16641  uhgrspanop  16694  upgrspanop  16695  umgrspanop  16696  usgrspanop  16697  vtxdgfval  16700  vtxdgop  16704  wksfval  16734  wlkex  16737  clwwlkg  16805  clwwlkex  16810  clwwlknonmpo  16840  eupthvdres  16887