Theorem xaddpnf2 10180

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	|- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( +oo +e A ) = +oo )

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8326	. . 3 |- +oo e. RR*
2		xaddval 10178	. . 3 |- ( ( +oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( +oo +e A ) = if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( +oo +e A ) = if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) )
4		eqid 2232	. . . 4 |- +oo = +oo
5	4	iftruei 3628	. . 3 |- if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) = if ( A = -oo , 0 , +oo )
6		ifnefalse 3633	. . 3 |- ( A =/= -oo -> if ( A = -oo , 0 , +oo ) = +oo )
7	5, 6	eqtrid 2277	. 2 |- ( A =/= -oo -> if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) = +oo )
8	3, 7	sylan9eq 2285	1 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( +oo +e A ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   ifcif 3620  (class class class)co 6050   0cc0 8127   + caddc 8130   +oocpnf 8305   -oocmnf 8306   RR*cxr 8307   +ecxad 10103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-rnegex 8236

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-xadd 10106

This theorem is referenced by:  xaddnemnf  10190  xaddcom  10194  xaddid1  10195  xnn0xadd0  10200  xnegdi  10201  xaddass  10202  xleadd1a  10206  xltadd1  10209  xposdif  10215  xleaddadd  10220  xrmaxadd  11946  xrbdtri  11961  isxmet2d  15213