Theorem xaddpnf2 10055

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	|- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( +oo +e A ) = +oo )

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8210	. . 3 |- +oo e. RR*
2		xaddval 10053	. . 3 |- ( ( +oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( +oo +e A ) = if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( +oo +e A ) = if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) )
4		eqid 2229	. . . 4 |- +oo = +oo
5	4	iftruei 3608	. . 3 |- if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) = if ( A = -oo , 0 , +oo )
6		ifnefalse 3613	. . 3 |- ( A =/= -oo -> if ( A = -oo , 0 , +oo ) = +oo )
7	5, 6	eqtrid 2274	. 2 |- ( A =/= -oo -> if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) = +oo )
8	3, 7	sylan9eq 2282	1 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( +oo +e A ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ifcif 3602  (class class class)co 6007   0cc0 8010   + caddc 8013   +oocpnf 8189   -oocmnf 8190   RR*cxr 8191   +ecxad 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-rnegex 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-xadd 9981

This theorem is referenced by:  xaddnemnf  10065  xaddcom  10069  xaddid1  10070  xnn0xadd0  10075  xnegdi  10076  xaddass  10077  xleadd1a  10081  xltadd1  10084  xposdif  10090  xleaddadd  10095  xrmaxadd  11787  xrbdtri  11802  isxmet2d  15037