Theorem xaddpnf2 9999

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	|- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( +oo +e A ) = +oo )

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8155	. . 3 |- +oo e. RR*
2		xaddval 9997	. . 3 |- ( ( +oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( +oo +e A ) = if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( +oo +e A ) = if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) )
4		eqid 2206	. . . 4 |- +oo = +oo
5	4	iftruei 3581	. . 3 |- if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) = if ( A = -oo , 0 , +oo )
6		ifnefalse 3586	. . 3 |- ( A =/= -oo -> if ( A = -oo , 0 , +oo ) = +oo )
7	5, 6	eqtrid 2251	. 2 |- ( A =/= -oo -> if ( +oo = +oo , if ( A = -oo , 0 , +oo ) , if ( +oo = -oo , if ( A = +oo , 0 , -oo ) , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , -oo , ( +oo + A ) ) ) ) ) = +oo )
8	3, 7	sylan9eq 2259	1 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( +oo +e A ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   ifcif 3575  (class class class)co 5962   0cc0 7955   + caddc 7958   +oocpnf 8134   -oocmnf 8135   RR*cxr 8136   +ecxad 9922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052  ax-rnegex 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-xadd 9925

This theorem is referenced by:  xaddnemnf  10009  xaddcom  10013  xaddid1  10014  xnn0xadd0  10019  xnegdi  10020  xaddass  10021  xleadd1a  10025  xltadd1  10028  xposdif  10034  xleaddadd  10039  xrmaxadd  11657  xrbdtri  11672  isxmet2d  14905