ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddpnf2 Unicode version

Theorem xaddpnf2 9821
Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddpnf2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( +oo +e A )  = +oo )

Proof of Theorem xaddpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 7987 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 xaddval 9819 . . 3  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( +oo +e A )  =  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( +oo  +  A ) ) ) ) ) )
31, 2mpan 424 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo +e A )  =  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo ,  ( +oo  +  A ) ) ) ) ) )
4 eqid 2177 . . . 4  |- +oo  = +oo
54iftruei 3540 . . 3  |-  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( +oo  +  A
) ) ) ) )  =  if ( A  = -oo , 
0 , +oo )
6 ifnefalse 3545 . . 3  |-  ( A  =/= -oo  ->  if ( A  = -oo , 
0 , +oo )  = +oo )
75, 6eqtrid 2222 . 2  |-  ( A  =/= -oo  ->  if ( +oo  = +oo ,  if ( A  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( +oo  = -oo ,  if ( A  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( A  = +oo , +oo ,  if ( A  = -oo , -oo , 
( +oo  +  A
) ) ) ) )  = +oo )
83, 7sylan9eq 2230 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( +oo +e A )  = +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   ifcif 3534  (class class class)co 5868   0cc0 7789    + caddc 7792   +oocpnf 7966   -oocmnf 7967   RR*cxr 7968   +ecxad 9744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886  ax-rnegex 7898
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-xadd 9747
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  9831  xaddcom  9835  xaddid1  9836  xnn0xadd0  9841  xnegdi  9842  xaddass  9843  xleadd1a  9847  xltadd1  9850  xposdif  9856  xleaddadd  9861  xrmaxadd  11240  xrbdtri  11255  isxmet2d  13481
  Copyright terms: Public domain W3C validator