Theorem xaddpnf2 10060

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8215	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 10058	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
5	4	iftruei 3608	. . 3 ⊢ if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6		ifnefalse 3613	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
7	5, 6	eqtrid 2274	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
8	3, 7	sylan9eq 2282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ifcif 3602  (class class class)co 6010  0cc0 8015   + caddc 8018  +∞cpnf 8194  -∞cmnf 8195  ℝ^*cxr 8196   +_𝑒 cxad 9983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112  ax-rnegex 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-xadd 9986

This theorem is referenced by:  xaddnemnf  10070  xaddcom  10074  xaddid1  10075  xnn0xadd0  10080  xnegdi  10081  xaddass  10082  xleadd1a  10086  xltadd1  10089  xposdif  10095  xleaddadd  10100  xrmaxadd  11793  xrbdtri  11808  isxmet2d  15043