ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddpnf2 GIF version

Theorem xaddpnf2 9883
Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddpnf2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 8045 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 xaddval 9881 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
31, 2mpan 424 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4 eqid 2189 . . . 4 +∞ = +∞
54iftruei 3555 . . 3 if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6 ifnefalse 3560 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
75, 6eqtrid 2234 . 2 (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
83, 7sylan9eq 2242 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  ifcif 3549  (class class class)co 5900  0cc0 7846   + caddc 7849  +∞cpnf 8024  -∞cmnf 8025  *cxr 8026   +𝑒 cxad 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943  ax-rnegex 7955
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-xadd 9809
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  9893  xaddcom  9897  xaddid1  9898  xnn0xadd0  9903  xnegdi  9904  xaddass  9905  xleadd1a  9909  xltadd1  9912  xposdif  9918  xleaddadd  9923  xrmaxadd  11310  xrbdtri  11325  isxmet2d  14333
  Copyright terms: Public domain W3C validator