Theorem xaddpnf2 10082

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8232	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 10080	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4		eqid 2231	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
5	4	iftruei 3611	. . 3 ⊢ if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6		ifnefalse 3616	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
7	5, 6	eqtrid 2276	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
8	3, 7	sylan9eq 2284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ifcif 3605  (class class class)co 6018  0cc0 8032   + caddc 8035  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213   +_𝑒 cxad 10005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129  ax-rnegex 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-xadd 10008

This theorem is referenced by:  xaddnemnf  10092  xaddcom  10096  xaddid1  10097  xnn0xadd0  10102  xnegdi  10103  xaddass  10104  xleadd1a  10108  xltadd1  10111  xposdif  10117  xleaddadd  10122  xrmaxadd  11826  xrbdtri  11841  isxmet2d  15078