ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddpnf2 GIF version

Theorem xaddpnf2 9860
Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddpnf2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 8023 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 xaddval 9858 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
31, 2mpan 424 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4 eqid 2187 . . . 4 +∞ = +∞
54iftruei 3552 . . 3 if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6 ifnefalse 3557 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
75, 6eqtrid 2232 . 2 (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
83, 7sylan9eq 2240 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2158  wne 2357  ifcif 3546  (class class class)co 5888  0cc0 7824   + caddc 7827  +∞cpnf 8002  -∞cmnf 8003  *cxr 8004   +𝑒 cxad 9783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-rnegex 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-xadd 9786
This theorem is referenced by:  xaddnemnf  9870  xaddcom  9874  xaddid1  9875  xnn0xadd0  9880  xnegdi  9881  xaddass  9882  xleadd1a  9886  xltadd1  9889  xposdif  9895  xleaddadd  9900  xrmaxadd  11282  xrbdtri  11297  isxmet2d  14088
  Copyright terms: Public domain W3C validator