Theorem nn0abscl 11748

Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0abscl	|- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9567	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		absnid 11736	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
4		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> A e. ZZ )
5	4	znegcld 9688	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> -u A e. ZZ )
6		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> A <_ 0 )
7	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> A e. RR )
8	7	le0neg1d 8779	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> 0 <_ -u A )
10		elnn0z 9576	. . . 4 |- ( -u A e. NN0 <-> ( -u A e. ZZ /\ 0 <_ -u A ) )
11	5, 9, 10	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> -u A e. NN0 )
12	3, 11	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) e. NN0 )
13		absid 11734	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
14	1, 13	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
15		elnn0z 9576	. . . 4 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) )
16	15	biimpri 133	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> A e. NN0 )
17	14, 16	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) e. NN0 )
18		0z 9574	. . 3 |- 0 e. ZZ
19		zletric 9607	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A <_ 0 \/ 0 <_ A ) )
20	18, 19	mpan2 425	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A <_ 0 \/ 0 <_ A ) )
21	12, 17, 20	mpjaodan 806	1 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4102   ` cfv 5343   RRcr 8114   0cc0 8115   <_ cle 8297   -ucneg 8433   NN0cn0 9484   ZZcz 9563   abscabs 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-pre-mulext 8233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-div 8935  df-inn 9226  df-2 9284  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-seqfrec 10796  df-exp 10887  df-cj 11505  df-re 11506  df-im 11507  df-rsqrt 11661  df-abs 11662

This theorem is referenced by:  zabscl  11749  absmulgcd  12691  lcmgcd  12753  lcmgcdeq  12758  mulgcddvds  12769  sqnprm  12811  zgcdsq  12876  4sqlem11  13077  lgsabs1  15882