Theorem ztri3or 9321

Description: Integer trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )

Proof of Theorem ztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9319	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M - N ) e. ZZ )
2		ztri3or0 9320	. . 3 |- ( ( M - N ) e. ZZ -> ( ( M - N ) < 0 \/ ( M - N ) = 0 \/ 0 < ( M - N ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - N ) < 0 \/ ( M - N ) = 0 \/ 0 < ( M - N ) ) )
4		zre 9282	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
6		zre 9282	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
8	5, 7	posdifd 8514	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> 0 < ( N - M ) ) )
9	7, 5	resubcld 8363	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - M ) e. RR )
10	9	lt0neg2d 8498	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < ( N - M ) <-> -u ( N - M ) < 0 ) )
11	7	recnd 8011	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
12	5	recnd 8011	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. CC )
13	11, 12	negsubdi2d 8309	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u ( N - M ) = ( M - N ) )
14	13	breq1d 4028	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -u ( N - M ) < 0 <-> ( M - N ) < 0 ) )
15	8, 10, 14	3bitrd 214	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M - N ) < 0 ) )
16	12, 11	subeq0ad 8303	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - N ) = 0 <-> M = N ) )
17	16	bicomd 141	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N <-> ( M - N ) = 0 ) )
18	7, 5	posdifd 8514	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> 0 < ( M - N ) ) )
19	15, 17, 18	3orbi123d 1322	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( ( M - N ) < 0 \/ ( M - N ) = 0 \/ 0 < ( M - N ) ) ) )
20	3, 19	mpbird 167	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   RRcr 7835   0cc0 7836   < clt 8017   - cmin 8153   -ucneg 8154   ZZcz 9278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-inn 8945  df-n0 9202  df-z 9279

This theorem is referenced by:  zletric  9322  zlelttric  9323  zltnle  9324  zleloe  9325  zapne  9352  zdceq  9353  zdcle  9354  zdclt  9355  uzm1  9583  qtri3or  10268  iseqf1olemkle  10510  iseqf1olemklt  10511  cvgratz  11567  divalglemeunn  11953  divalglemeuneg  11955  znege1  12205  lgsdilem  14865