Theorem flqbi2 10541

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Proof of Theorem flqbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9850	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
2		qaddcl 9859	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ)
4		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		flqbi 10540	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
7		zre 9473	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		qre 9849	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ℚ → 𝐹 ∈ ℝ)
9		addge01 8642	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹)))
10		1re 8168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		ltadd2 8589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
12	10, 11	mp3an2 1359	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
13	12	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
14	9, 13	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
15	7, 8, 14	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
16	6, 15	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℤcz 9469  ℚcq 9843  ⌊cfl 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520

This theorem is referenced by:  adddivflid  10542  divfl0  10546  fldiv4p1lem1div2  10555  flqdiv  10573  modqid  10601  flodddiv4  12487  bitsp1o  12504  fldivp1  12911