Theorem flqbi2 10747

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Proof of Theorem flqbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 10042	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
2		qaddcl 10051	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ)
4		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		flqbi 10746	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
7		zre 9659	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		qre 10041	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ℚ → 𝐹 ∈ ℝ)
9		addge01 8807	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹)))
10		1re 8331	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		ltadd2 8754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
12	10, 11	mp3an2 1366	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
13	12	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
14	9, 13	anbi12d 477	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
15	7, 8, 14	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
16	6, 15	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℤcz 9655  ℚcq 10035  ⌊cfl 10720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722

This theorem is used by:  adddivflid  10748  divfl0  10752  fldiv4p1lem1div2  10761  flqdiv  10779  modqid  10807  flodddiv4  12728  bitsp1o  12745  fldivp1  13156