Theorem flqbi2 10523

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Proof of Theorem flqbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9833	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
2		qaddcl 9842	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ)
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → (𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ)
4		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		flqbi 10522	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 𝐹) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
7		zre 9461	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		qre 9832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ℚ → 𝐹 ∈ ℝ)
9		addge01 8630	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐹 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹)))
10		1re 8156	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		ltadd2 8577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
12	10, 11	mp3an2 1359	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
13	12	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐹 < 1 ↔ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1)))
14	9, 13	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
15	7, 8, 14	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1) ↔ (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐹) ∧ (𝑁 + 𝐹) < (𝑁 + 1))))
16	6, 15	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑁 + 𝐹)) = 𝑁 ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   ≤ cle 8193  ℤcz 9457  ℚcq 9826  ⌊cfl 10500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-q 9827  df-rp 9862  df-fl 10502

This theorem is referenced by:  adddivflid  10524  divfl0  10528  fldiv4p1lem1div2  10537  flqdiv  10555  modqid  10583  flodddiv4  12462  bitsp1o  12479  fldivp1  12886