Theorem elfzmlbp 10118

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10002	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
2		znn0sub 9307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
4	3	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
6	5	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zaddcl 9282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
15	14	zred 9364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16		letr 8030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
18		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		addge01 8419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
20	8, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
21		elnn0z 9255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
22	21	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
24	20, 23	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
25	17, 24	syld 45	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		df-3an 980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		3ancoma 985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
29	27, 28	bitr3i 186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
30	10, 7, 18	3anim123i 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	29, 30	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32		lesubadd2 8382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
34	33	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
36	35	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
37	6, 26, 36	3jca 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
38	37	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
40	39	3adant2 1016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
41	40	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
43	1, 42	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
44	43	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45		elfz2nn0 10098	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805   ≤ cle 7983   − cmin 8118  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

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