ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfznle GIF version

Theorem difelfznle 10121
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10098 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 nn0addcl 9200 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 9362 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
433adant3 1017 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 121 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6 elfzelz 10011 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 zsubcl 9283 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
85, 6, 7syl2anr 290 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
983adant3 1017 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
106zred 9364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 276 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 elfzel2 10009 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312zred 9364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantr 276 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 nn0readdcl 9224 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16153adant3 1017 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
171, 16sylbi 121 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1817adantl 277 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19 elfzle2 10014 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
20 elfzle1 10013 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
22 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2321, 22anim12ci 339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233adant3 1017 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
251, 24sylbi 121 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26 addge02 8420 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2820, 27mpbid 147 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
2919, 28anim12i 338 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30 letr 8030 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3130imp 124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1241 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33323adant3 1017 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34 zre 9246 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3521, 22anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36353adant3 1017 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
371, 36sylbi 121 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38 readdcl 7928 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4034, 39anim12ci 339 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
416, 40sylan 283 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42413adant3 1017 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43 subge0 8422 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4442, 43syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4533, 44mpbird 167 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46 elnn0z 9255 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
479, 45, 46sylanbrc 417 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48 elfz3nn0 10101 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49483ad2ant1 1018 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50 elfzelz 10011 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 zltnle 9288 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
5251ancoms 268 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
53 zre 9246 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54 ltle 8035 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5553, 34, 54syl2anr 290 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5652, 55sylbird 170 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
576, 50, 56syl2an 289 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
58573impia 1200 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑀𝐾)
5950zred 9364 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
6059adantl 277 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6160, 11, 14leadd1d 8486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
62613adant3 1017 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6358, 62mpbid 147 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
6418, 11, 14lesubadd2d 8491 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
65643adant3 1017 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6663, 65mpbird 167 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
67 elfz2nn0 10098 . 2 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
6847, 49, 66, 67syl3anbrc 1181 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  0cn0 9165  cz 9242  ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator