Theorem difelfznle 10415

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10392	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		nn0addcl 9479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6		elfzelz 10305	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		zsubcl 9564	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
9	8	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
10	6	zred 9646	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		elfzel2 10303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 9646	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nn0readdcl 9505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	3adant3 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
17	1, 16	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
18	17	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19		elfzle2 10308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
20		elfzle1 10307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12ci 339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25	1, 24	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26		addge02 8695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
28	20, 27	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
29	19, 28	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30		letr 8304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
31	30	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1277	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33	32	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34		zre 9527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
35	21, 22	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36	35	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
37	1, 36	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38		readdcl 8201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
40	34, 39	anim12ci 339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
41	6, 40	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42	41	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43		subge0 8697	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
45	33, 44	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46		elnn0z 9536	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
47	9, 45, 46	sylanbrc 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48		elfz3nn0 10395	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	48	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50		elfzelz 10305	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zltnle 9569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
52	51	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
53		zre 9527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54		ltle 8309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
55	53, 34, 54	syl2anr 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
56	52, 55	sylbird 170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
57	6, 50, 56	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
58	57	3impia 1227	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
59	50	zred 9646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
60	59	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	60, 11, 14	leadd1d 8761	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
62	61	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
63	58, 62	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
64	18, 11, 14	lesubadd2d 8766	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
65	64	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
66	63, 65	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
67		elfz2nn0 10392	. 2 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
68	47, 49, 66, 67	syl3anbrc 1208	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289

This theorem is referenced by: (None)