Theorem 4pos 9106

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9083	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8044	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9103	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8172	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8537	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9070	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4061	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   < clt 8080  3c3 9061  4c4 9062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070

This theorem is referenced by:  4ne0  9107  4ap0  9108  5pos  9109  8th4div3  9229  div4p1lem1div2  9264  fldiv4p1lem1div2  10414  iexpcyc  10755  faclbnd2  10853  resqrexlemover  11194  resqrexlemcalc1  11198  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemnm  11202  resqrexlemga  11207  sqrt2gt1lt2  11233  flodddiv4  12120  dveflem  15070  coseq0negpitopi  15180  sincos4thpi  15184  gausslemma2dlem0d  15401