Theorem 4pos 9239

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9216	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8177	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9236	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8305	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8670	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9203	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4115	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213  3c3 9194  4c4 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203

This theorem is referenced by:  4ne0  9240  4ap0  9241  5pos  9242  8th4div3  9362  div4p1lem1div2  9397  fldiv4p1lem1div2  10564  iexpcyc  10905  faclbnd2  11003  resqrexlemover  11570  resqrexlemcalc1  11574  resqrexlemcalc2  11575  resqrexlemcalc3  11576  resqrexlemnm  11578  resqrexlemga  11583  sqrt2gt1lt2  11609  flodddiv4  12496  dveflem  15449  coseq0negpitopi  15559  sincos4thpi  15563  gausslemma2dlem0d  15780