Theorem 4pos 9282

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9259	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9279	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8348	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8713	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9246	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4120	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256  3c3 9237  4c4 9238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246

This theorem is referenced by:  4ne0  9283  4ap0  9284  5pos  9285  8th4div3  9405  div4p1lem1div2  9440  fldiv4p1lem1div2  10611  iexpcyc  10952  faclbnd2  11050  resqrexlemover  11633  resqrexlemcalc1  11637  resqrexlemcalc2  11638  resqrexlemcalc3  11639  resqrexlemnm  11641  resqrexlemga  11646  sqrt2gt1lt2  11672  flodddiv4  12560  dveflem  15520  coseq0negpitopi  15630  sincos4thpi  15634  gausslemma2dlem0d  15854