Theorem 4pos 9148

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9125	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8086	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9145	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8214	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8579	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9112	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4077	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943   < clt 8122  3c3 9103  4c4 9104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-xp 4688  df-iota 5240  df-fv 5287  df-ov 5959  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112

This theorem is referenced by:  4ne0  9149  4ap0  9150  5pos  9151  8th4div3  9271  div4p1lem1div2  9306  fldiv4p1lem1div2  10465  iexpcyc  10806  faclbnd2  10904  resqrexlemover  11391  resqrexlemcalc1  11395  resqrexlemcalc2  11396  resqrexlemcalc3  11397  resqrexlemnm  11399  resqrexlemga  11404  sqrt2gt1lt2  11430  flodddiv4  12317  dveflem  15268  coseq0negpitopi  15378  sincos4thpi  15382  gausslemma2dlem0d  15599