Theorem 4pos 9230

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9207	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9227	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8296	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8661	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9194	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4113	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204  3c3 9185  4c4 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194

This theorem is referenced by:  4ne0  9231  4ap0  9232  5pos  9233  8th4div3  9353  div4p1lem1div2  9388  fldiv4p1lem1div2  10555  iexpcyc  10896  faclbnd2  10994  resqrexlemover  11561  resqrexlemcalc1  11565  resqrexlemcalc2  11566  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemnm  11569  resqrexlemga  11574  sqrt2gt1lt2  11600  flodddiv4  12487  dveflem  15440  coseq0negpitopi  15550  sincos4thpi  15554  gausslemma2dlem0d  15771