Theorem 4pos 9240

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9217	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8178	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9237	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8306	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8671	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9204	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4115	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214  3c3 9195  4c4 9196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204

This theorem is referenced by:  4ne0  9241  4ap0  9242  5pos  9243  8th4div3  9363  div4p1lem1div2  9398  fldiv4p1lem1div2  10566  iexpcyc  10907  faclbnd2  11005  resqrexlemover  11588  resqrexlemcalc1  11592  resqrexlemcalc2  11593  resqrexlemcalc3  11594  resqrexlemnm  11596  resqrexlemga  11601  sqrt2gt1lt2  11627  flodddiv4  12515  dveflem  15469  coseq0negpitopi  15579  sincos4thpi  15583  gausslemma2dlem0d  15800