Theorem 4pos 9081

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9058	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8020	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9078	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8148	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8512	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9045	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4057	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056  3c3 9036  4c4 9037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045

This theorem is referenced by:  4ne0  9082  4ap0  9083  5pos  9084  8th4div3  9204  div4p1lem1div2  9239  fldiv4p1lem1div2  10377  iexpcyc  10718  faclbnd2  10816  resqrexlemover  11157  resqrexlemcalc1  11161  resqrexlemcalc2  11162  resqrexlemcalc3  11163  resqrexlemnm  11165  resqrexlemga  11170  sqrt2gt1lt2  11196  flodddiv4  12078  dveflem  14905  coseq0negpitopi  15012  sincos4thpi  15016  gausslemma2dlem0d  15209