Theorem 4pos 9163

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9140	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8101	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9160	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8229	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8594	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9127	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4081	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  0cc0 7955  1c1 7956   + caddc 7958   < clt 8137  3c3 9118  4c4 9119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-iota 5246  df-fv 5293  df-ov 5965  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127

This theorem is referenced by:  4ne0  9164  4ap0  9165  5pos  9166  8th4div3  9286  div4p1lem1div2  9321  fldiv4p1lem1div2  10480  iexpcyc  10821  faclbnd2  10919  resqrexlemover  11406  resqrexlemcalc1  11410  resqrexlemcalc2  11411  resqrexlemcalc3  11412  resqrexlemnm  11414  resqrexlemga  11419  sqrt2gt1lt2  11445  flodddiv4  12332  dveflem  15283  coseq0negpitopi  15393  sincos4thpi  15397  gausslemma2dlem0d  15614