Theorem 4pos 9203

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9180	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8141	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9200	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8269	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8634	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9167	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4109	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177  3c3 9158  4c4 9159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167

This theorem is referenced by:  4ne0  9204  4ap0  9205  5pos  9206  8th4div3  9326  div4p1lem1div2  9361  fldiv4p1lem1div2  10520  iexpcyc  10861  faclbnd2  10959  resqrexlemover  11516  resqrexlemcalc1  11520  resqrexlemcalc2  11521  resqrexlemcalc3  11522  resqrexlemnm  11524  resqrexlemga  11529  sqrt2gt1lt2  11555  flodddiv4  12442  dveflem  15394  coseq0negpitopi  15504  sincos4thpi  15508  gausslemma2dlem0d  15725