Theorem 4pos 9079

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9056	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8018	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9076	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8146	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8510	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9043	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4056	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054  3c3 9034  4c4 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043

This theorem is referenced by:  4ne0  9080  4ap0  9081  5pos  9082  8th4div3  9201  div4p1lem1div2  9236  fldiv4p1lem1div2  10374  iexpcyc  10715  faclbnd2  10813  resqrexlemover  11154  resqrexlemcalc1  11158  resqrexlemcalc2  11159  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemnm  11162  resqrexlemga  11167  sqrt2gt1lt2  11193  flodddiv4  12075  dveflem  14872  coseq0negpitopi  14971  sincos4thpi  14975  gausslemma2dlem0d  15168