Theorem 4pos 9218

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9195	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 8156	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 9215	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 8284	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8649	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 9182	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4110	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192  3c3 9173  4c4 9174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182

This theorem is referenced by:  4ne0  9219  4ap0  9220  5pos  9221  8th4div3  9341  div4p1lem1div2  9376  fldiv4p1lem1div2  10537  iexpcyc  10878  faclbnd2  10976  resqrexlemover  11536  resqrexlemcalc1  11540  resqrexlemcalc2  11541  resqrexlemcalc3  11542  resqrexlemnm  11544  resqrexlemga  11549  sqrt2gt1lt2  11575  flodddiv4  12462  dveflem  15415  coseq0negpitopi  15525  sincos4thpi  15529  gausslemma2dlem0d  15746