Theorem 3pos 8921

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8897	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 7871	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 8918	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 7996	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8360	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 8887	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 3991	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   < clt 7906  2c2 8878  3c3 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-iota 5134  df-fv 5177  df-ov 5824  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-ltxr 7911  df-2 8886  df-3 8887

This theorem is referenced by:  3ne0  8922  3ap0  8923  4pos  8924  8th4div3  9046  halfpm6th  9047  3rp  9559  sqrt9  10941  ef01bndlem  11646  cos2bnd  11650  sin01gt0  11651  cos01gt0  11652  flodddiv4  11817  coseq0negpitopi  13128  tangtx  13130  sincos6thpi  13134  cos02pilt1  13143  ex-gcd  13278