Theorem 3pos 9192

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	⊢ 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9168	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 8133	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		2pos 9189	. . 3 ⊢ 0 < 2
4		0lt1 8261	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8626	. 2 ⊢ 0 < (2 + 1)
6		df-3 9158	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4109	1 ⊢ 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169  2c2 9149  3c3 9150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-iota 5274  df-fv 5322  df-ov 5997  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-2 9157  df-3 9158

This theorem is referenced by:  3ne0  9193  3ap0  9194  4pos  9195  8th4div3  9318  halfpm6th  9319  3rp  9843  fz0to4untppr  10308  sqrt9  11545  ef01bndlem  12253  cos2bnd  12257  sin01gt0  12259  cos01gt0  12260  flodddiv4  12433  slotsdifunifndx  13251  coseq0negpitopi  15495  tangtx  15497  sincos6thpi  15501  cos02pilt1  15510  lgsdir2lem1  15692  ex-gcd  16025