Theorem mulg1 13779

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg1	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9196	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13776	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
7	1, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8		1zzd 9550	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℤ)
9		elnnuz 9837	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
10		fvconst2g 5876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
13	12	elexd 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
15		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
16	2	basmex 13205	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
17		plusgslid 13258	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
18	17	slotex 13172	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (+g‘𝐺) ∈ V)
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
21		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
22		ovexg 6062	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
24	8, 14, 23	seq3-1 10770	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = ((ℕ × {𝑋})‘1))
25		fvconst2g 5876	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
26	1, 25	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
27	7, 24, 26	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  {csn 3673   × cxp 4729  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8076  ℕcn 9185  ℤ_≥cuz 9799  seqcseq 10755  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  ._gcmg 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-minusg 13650  df-mulg 13770

This theorem is referenced by:  mulg2  13781  mulgnn0p1  13783  mulgm1  13792  mulgp1  13805  mulgnnass  13807  gsumfzconst  13991  gsumfzsnfd  13995  mulgrhm  14688