Theorem mulg1 13661

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg1	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9117	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2229	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13658	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
7	1, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8		1zzd 9469	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℤ)
9		elnnuz 9755	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
10		fvconst2g 5852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
13	12	elexd 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
15		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
16	2	basmex 13087	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
17		plusgslid 13140	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
18	17	slotex 13054	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (+g‘𝐺) ∈ V)
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
21		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
22		ovexg 6034	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
24	8, 14, 23	seq3-1 10679	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = ((ℕ × {𝑋})‘1))
25		fvconst2g 5852	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
26	1, 25	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
27	7, 24, 26	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {csn 3666   × cxp 4716  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  1c1 7996  ℕcn 9106  ℤ_≥cuz 9718  seqcseq 10664  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  ._gcmg 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-minusg 13532  df-mulg 13652

This theorem is referenced by:  mulg2  13663  mulgnn0p1  13665  mulgm1  13674  mulgp1  13687  mulgnnass  13689  gsumfzconst  13873  gsumfzsnfd  13877  mulgrhm  14567