Theorem mulg1 13932

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg1	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9315	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13929	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
7	1, 6	mpan 428	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8		1zzd 9671	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℤ)
9		elnnuz 9959	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
10		fvconst2g 5929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
13	12	elexd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
15		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
16	2	basmex 13412	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
17		plusgslid 13466	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
18	17	slotex 13379	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (+g‘𝐺) ∈ V)
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
21		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
22		ovexg 6119	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
24	8, 14, 23	seq3-1 10899	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = ((ℕ × {𝑋})‘1))
25		fvconst2g 5929	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
26	1, 25	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
27	7, 24, 26	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709   × cxp 4772  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8180  ℕcn 9304  ℤ_≥cuz 9921  seqcseq 10884  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  ._gcmg 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-minusg 13809  df-mulg 13923

This theorem is used by:  mulg2  13934  mulgnn0p1  13936  mulgm1  13945  mulgp1  13958  mulgnnass  13960  gzsumconst  14143  gzsumsnfd  14147  mulgrhm  14944