Theorem mulg1 13715

Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg1	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9153	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
6	2, 3, 4, 5	mulgnn 13712	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
7	1, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8		1zzd 9505	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℤ)
9		elnnuz 9792	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
10		fvconst2g 5867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
13	12	elexd 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
14	9, 13	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
15		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
16	2	basmex 13141	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
17		plusgslid 13194	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
18	17	slotex 13108	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	16, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (+g‘𝐺) ∈ V)
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
21		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
22		ovexg 6051	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
23	15, 20, 21, 22	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢(+g‘𝐺)𝑣) ∈ V)
24	8, 14, 23	seq3-1 10723	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = ((ℕ × {𝑋})‘1))
25		fvconst2g 5867	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
26	1, 25	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
27	7, 24, 26	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  {csn 3669   × cxp 4723  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  1c1 8032  ℕcn 9142  ℤ_≥cuz 9754  seqcseq 10708  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  ._gcmg 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-minusg 13586  df-mulg 13706

This theorem is referenced by:  mulg2  13717  mulgnn0p1  13719  mulgm1  13728  mulgp1  13741  mulgnnass  13743  gsumfzconst  13927  gsumfzsnfd  13931  mulgrhm  14622