ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulg1 GIF version

Theorem mulg1 12866
Description: Group multiple (exponentiation) operation at one. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulg1 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mulg1
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 8906 . . 3 1 ∈ ℕ
2 mulg1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2177 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 mulg1.m . . . 4 · = (.g𝐺)
5 eqid 2177 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
62, 3, 4, 5mulgnn 12865 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
71, 6mpan 424 . 2 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1))
8 1zzd 9256 . . 3 (𝑋𝐵 → 1 ∈ ℤ)
9 elnnuz 9540 . . . 4 (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ‘1))
10 fvconst2g 5725 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
11 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
1210, 11eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
1312elexd 2750 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
149, 13sylan2br 288 . . 3 ((𝑋𝐵𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
15 simprl 529 . . . 4 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
162basmex 12490 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝐺 ∈ V)
17 plusgslid 12538 . . . . . . 7 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
1817slotex 12459 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → (+g𝐺) ∈ V)
1916, 18syl 14 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (+g𝐺) ∈ V)
2019adantr 276 . . . 4 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (+g𝐺) ∈ V)
21 simprr 531 . . . 4 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
22 ovexg 5902 . . . 4 ((𝑢 ∈ V ∧ (+g𝐺) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ V)
2315, 20, 21, 22syl3anc 1238 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢(+g𝐺)𝑣) ∈ V)
248, 14, 23seq3-1 10433 . 2 (𝑋𝐵 → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘1) = ((ℕ × {𝑋})‘1))
25 fvconst2g 5725 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
261, 25mpan2 425 . 2 (𝑋𝐵 → ((ℕ × {𝑋})‘1) = 𝑋)
277, 24, 263eqtrd 2214 1 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3591   × cxp 4620  cfv 5211  (class class class)co 5868  1c1 7790  cn 8895  cuz 9504  seqcseq 10418  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  .gcmg 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-minusg 12758  df-mulg 12860
This theorem is referenced by:  mulg2  12868  mulgnn0p1  12870  mulgm1  12879  mulgp1  12891  mulgnnass  12893
  Copyright terms: Public domain W3C validator