ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnnp1 GIF version
Theorem mulgnnp1 12996
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mulg1.m Β· = (.gβ€˜πΊ)
mulgnnp1.p + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mulgnnp1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑁 Β· 𝑋) + 𝑋))
Proof of Theorem mulgnnp1
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 nnuz 9565 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
31, 2eleqtrdi 2270 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4 simplr 528 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simpr 110 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
65, 2eleqtrrdi 2271 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
7 fvconst2g 5732 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) = 𝑋)
8 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
97, 8eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
109elexd 2752 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
114, 6, 10syl2anc 411 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜π‘’) ∈ V)
12 simprl 529 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑒 ∈ V)
13 mulg1.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
1413basmex 12523 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝐺 ∈ V)
15 mulgnnp1.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜πΊ)
16 plusgslid 12573 . . . . . . . . 9 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
1716slotex 12491 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
1815, 17eqeltrid 2264 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ + ∈ V)
1914, 18syl 14 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ + ∈ V)
2019ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ + ∈ V)
21 simprr 531 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑣 ∈ V)
22 ovexg 5911 . . . . 5 ((𝑒 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ V)
2312, 20, 21, 22syl3anc 1238 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ V)
243, 11, 23seq3p1 10464 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) + ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(𝑁 + 1))))
25 id 19 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
26 peano2nn 8933 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
27 fvconst2g 5732 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(𝑁 + 1)) = 𝑋)
2825, 26, 27syl2anr 290 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(𝑁 + 1)) = 𝑋)
2928oveq2d 5893 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) + ((β„• Γ— {𝑋})β€˜(𝑁 + 1))) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) + 𝑋))
3024, 29eqtrd 2210 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) + 𝑋))
31 mulg1.m . . . 4 Β· = (.gβ€˜πΊ)
32 eqid 2177 . . . 4 seq1( + , (β„• Γ— {𝑋})) = seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))
3313, 15, 31, 32mulgnn 12994 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁 + 1) Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 1)))
3426, 33sylan 283 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁 + 1) Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜(𝑁 + 1)))
3513, 15, 31, 32mulgnn 12994 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘))
3635oveq1d 5892 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) + 𝑋) = ((seq1( + , (β„• Γ— {𝑋}))β€˜π‘) + 𝑋))
3730, 34, 363eqtr4d 2220 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁 + 1) Β· 𝑋) = ((𝑁 Β· 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  {csn 3594   Γ— cxp 4626  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  β„•cn 8921  β„€β‰₯cuz 9530  seqcseq 10447  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by:  mulg2  12997  mulgnn0p1  12999  mulgnnass  13023
  Copyright terms: Public domain W3C validator