Theorem mulgnnp1 13203

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnp1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnp1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnnp1

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnuz 9631	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	eleqtrdi 2286	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
6	5, 2	eleqtrrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
7		fvconst2g 5773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) = 𝑋)
8		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	7, 8	eqeltrd 2270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ 𝐵)
10	9	elexd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
11	4, 6, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑢) ∈ V)
12		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑢 ∈ V)
13		mulg1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14	13	basmex 12680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
15		mulgnnp1.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		plusgslid 12733	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
17	16	slotex 12648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
18	15, 17	eqeltrid 2280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → + ∈ V)
19	14, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → + ∈ V)
20	19	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → + ∈ V)
21		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → 𝑣 ∈ V)
22		ovexg 5953	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) → (𝑢 + 𝑣) ∈ V)
23	12, 20, 21, 22	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ V)
24	3, 11, 23	seq3p1 10539	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
25		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		peano2nn 8996	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27		fvconst2g 5773	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
28	25, 26, 27	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
29	28	oveq2d 5935	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
30	24, 29	eqtrd 2226	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
31		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
32		eqid 2193	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
33	13, 15, 31, 32	mulgnn 13199	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
34	26, 33	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
35	13, 15, 31, 32	mulgnn 13199	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
36	35	oveq1d 5934	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
37	30, 34, 36	3eqtr4d 2236	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3619   × cxp 4658  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  ℕcn 8984  ℤ_≥cuz 9595  seqcseq 10521  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._gcmg 13192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-minusg 13079  df-mulg 13193

This theorem is referenced by:  mulg2  13204  mulgnn0p1  13206  mulgnnass  13230  gsumfzconst  13414