Theorem nnre 9014

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 9011	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℝcr 7895  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-int 3876  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  nnrei  9016  peano2nn  9019  nn1suc  9026  nnge1  9030  nnle1eq1  9031  nngt0  9032  nnnlt1  9033  nnap0  9036  nn2ge  9040  nn1gt1  9041  nndivre  9043  nnrecgt0  9045  nnsub  9046  arch  9263  nnrecl  9264  bndndx  9265  nn0ge0  9291  0mnnnnn0  9298  nnnegz  9346  elnnz  9353  elz2  9414  gtndiv  9438  prime  9442  btwnz  9462  qre  9716  elpq  9740  elpqb  9741  nnrp  9755  nnledivrp  9858  fzo1fzo0n0  10276  elfzo0le  10278  fzonmapblen  10280  ubmelfzo  10293  fzonn0p1p1  10306  elfzom1p1elfzo  10307  ubmelm1fzo  10319  subfzo0  10335  adddivflid  10399  flltdivnn0lt  10411  intfracq  10429  flqdiv  10430  m1modnnsub1  10479  addmodid  10481  modfzo0difsn  10504  nnlesq  10752  facndiv  10848  faclbnd  10850  faclbnd3  10852  bcval5  10872  seq3coll  10951  caucvgre  11163  efaddlem  11856  nndivdvds  11978  nno  12088  nnoddm1d2  12092  divalglemnn  12100  divalg2  12108  ndvdsadd  12113  gcdmultiple  12212  gcdmultiplez  12213  gcdzeq  12214  sqgcd  12221  dvdssqlem  12222  lcmgcdlem  12270  coprmgcdb  12281  qredeq  12289  qredeu  12290  prmdvdsfz  12332  sqrt2irr  12355  divdenle  12390  phibndlem  12409  hashgcdlem  12431  oddprm  12453  pythagtriplem10  12463  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  pythagtriplem19  12476  pclemub  12481  pc2dvds  12524  pcmpt  12537  fldivp1  12542  pcbc  12545  infpnlem1  12553  oddennn  12634  exmidunben  12668  mulgnegnn  13338  znidomb  14290  lgsval4a  15347  gausslemma2dlem0c  15376  gausslemma2dlem0d  15377  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem2  15387  gausslemma2dlem3  15388  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  2lgslem1a1  15411