Theorem nnre 9320

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 9317	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8184  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-int 3971  df-inn 9314

This theorem is used by:  nnrei  9322  peano2nn  9325  nn1suc  9332  nnge1  9336  nnle1eq1  9337  nngt0  9338  nnnlt1  9339  nnap0  9342  nn2ge  9346  nn1gt1  9347  nndivre  9349  nnrecgt0  9351  nnsub  9352  arch  9571  nnrecl  9572  bndndx  9573  nn0ge0  9599  0mnnnnn0  9606  nnnegz  9656  elnnz  9663  elz2  9725  gtndiv  9751  prime  9755  btwnz  9775  qre  10040  elpq  10065  elpqb  10066  nnrp  10080  nnledivrp  10183  fzo1fzo0n0  10611  elfzo0le  10613  fzonmapblen  10615  ubmelfzo  10634  fzonn0p1p1  10647  elfzom1p1elfzo  10648  ubmelm1fzo  10660  subfzo0  10677  adddivflid  10747  flltdivnn0lt  10759  intfracq  10777  flqdiv  10778  m1modnnsub1  10827  addmodid  10829  modfzo0difsn  10852  nnlesq  11100  facndiv  11198  faclbnd  11200  faclbnd3  11202  bcval5  11222  seq3coll  11315  ccatval21sw  11394  caucvgre  11768  efaddlem  12465  nndivdvds  12587  nno  12697  nnoddm1d2  12701  divalglemnn  12709  divalg2  12717  ndvdsadd  12722  gcdmultiple  12821  gcdmultiplez  12822  gcdzeq  12823  sqgcd  12830  dvdssqlem  12831  lcmgcdlem  12879  coprmgcdb  12890  qredeq  12898  qredeu  12899  prmdvdsfz  12942  sqrt2irr  12965  divdenle  13001  phibndlem  13022  hashgcdlem  13044  oddprm  13066  pythagtriplem10  13076  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem16  13086  pythagtriplem19  13089  pclemub  13094  pc2dvds  13137  pcmpt  13150  fldivp1  13155  pcbc  13158  infpnlem1  13166  ballotfilemonn  13278  oddennn  13340  exmidunben  13374  mulgnegnn  13993  znidomb  15101  birthdaylem3  16244  pellexlem1  16246  ppiqltx  16298  chtublem  16312  bcmono  16321  bposlem1  16328  bposlem5  16332  bposlem6  16333  lgsval4a  16363  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem0d  16393  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem2  16403  gausslemma2dlem3  16404  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  2lgslem1a1  16427