Theorem nnre 8720

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 8717	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3088	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ℝcr 7612  ℕcn 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-int 3767  df-inn 8714

This theorem is referenced by:  nnrei  8722  peano2nn  8725  nn1suc  8732  nnge1  8736  nnle1eq1  8737  nngt0  8738  nnnlt1  8739  nnap0  8742  nn2ge  8746  nn1gt1  8747  nndivre  8749  nnrecgt0  8751  nnsub  8752  arch  8967  nnrecl  8968  bndndx  8969  nn0ge0  8995  0mnnnnn0  9002  nnnegz  9050  elnnz  9057  elz2  9115  gtndiv  9139  prime  9143  btwnz  9163  qre  9410  nnrp  9444  nnledivrp  9546  fzo1fzo0n0  9953  elfzo0le  9955  fzonmapblen  9957  ubmelfzo  9970  fzonn0p1p1  9983  elfzom1p1elfzo  9984  ubmelm1fzo  9996  subfzo0  10012  adddivflid  10058  flltdivnn0lt  10070  intfracq  10086  flqdiv  10087  m1modnnsub1  10136  addmodid  10138  modfzo0difsn  10161  nnlesq  10389  facndiv  10478  faclbnd  10480  faclbnd3  10482  bcval5  10502  seq3coll  10578  caucvgre  10746  efaddlem  11369  nndivdvds  11488  nno  11592  nnoddm1d2  11596  divalglemnn  11604  divalg2  11612  ndvdsadd  11617  gcdmultiple  11697  gcdmultiplez  11698  gcdzeq  11699  sqgcd  11706  dvdssqlem  11707  lcmgcdlem  11747  coprmgcdb  11758  qredeq  11766  qredeu  11767  prmdvdsfz  11808  sqrt2irr  11829  divdenle  11864  phibndlem  11881  hashgcdlem  11892  oddennn  11894  exmidunben  11928