Theorem lelttr 8108

Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		simpl1 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpl2 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lenlt 8095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	1, 5	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
7	6	pm2.21d 620	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐶))
8		idd 21	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
9		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
10		simpl3 1004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		axltwlin 8087	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶)))
12	3, 10, 2, 11	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶)))
13	9, 12	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐶))
14	7, 8, 13	mpjaod 719	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
15	14	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054   ≤ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltwlin 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  lelttri  8125  lelttrd  8144  letrp1  8867  ltmul12a  8879  bndndx  9239  uzind  9428  fnn0ind  9433  elfzo0z  10251  fzofzim  10255  elfzodifsumelfzo  10268  flqge  10351  modfzo0difsn  10466  expnlbnd2  10736  caubnd2  11261  mulcn2  11455  cn1lem  11457  climsqz  11478  climsqz2  11479  climcvg1nlem  11492  ltoddhalfle  12034  algcvgblem  12187  pclemub  12425  metss2lem  14665  logdivlti  15016  gausslemma2dlem2  15178