Theorem nnrecl 9363

Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem nnrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ap0 8769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
3	1, 2	rerecclapd 8977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 9362	. . 3 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
6		recgt0 8993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
7	3, 6	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
8		nnre 9113	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nngt0 9131	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
11		ltrec 9026	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
12	7, 10, 11	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
13		recn 8128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14, 2	recrecapd 8928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
16	15	breq2d 4094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
18	12, 17	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
19	18	rexbidva 2527	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴))
20	5, 19	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   < clt 8177   / cdiv 8815  ℕcn 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10471  trilpolemlt1  16368