Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnrecl GIF version

Theorem nnrecl 9071
 Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnrecl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem nnrecl
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 gt0ap0 8484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
31, 2rerecclapd 8689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4 arch 9070 . . 3 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
53, 4syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
6 recgt0 8704 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
73, 6jca 304 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
8 nnre 8823 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nngt0 8841 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
108, 9jca 304 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
11 ltrec 8737 . . . . 5 ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
127, 10, 11syl2an 287 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
13 recn 7848 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514, 2recrecapd 8641 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
1615breq2d 3977 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
1716adantr 274 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
1812, 17bitrd 187 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
1918rexbidva 2454 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴))
205, 19mpbid 146 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   < clt 7895   / cdiv 8528  ℕcn 8816 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817 This theorem is referenced by:  qbtwnre  10138  trilpolemlt1  13574
 Copyright terms: Public domain W3C validator