Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modremain GIF version

Theorem modremain 11682
 Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2142 . 2 ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
2 divalgmodcl 11681 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
323adant3r 1214 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
4 ibar 299 . . . . 5 (𝑅 < 𝐷 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
54adantl 275 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
653ad2ant3 1005 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
7 nnz 9117 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
873ad2ant2 1004 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
9 simp1 982 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 nn0z 9118 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
1110adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℤ)
12113ad2ant3 1005 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℤ)
139, 12zsubcld 9222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
14 divides 11551 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
158, 13, 14syl2anc 409 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
16 eqcom 2142 . . . . . 6 ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ (𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷))
17 zcn 9103 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
18173ad2ant1 1003 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1918adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 nn0cn 9031 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℂ)
2120adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
22213ad2ant3 1005 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2322adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
24 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
258adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2624, 25zmulcld 9223 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℤ)
2726zcnd 9218 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℂ)
2819, 23, 27subadd2d 8136 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
2916, 28syl5bb 191 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3029rexbidva 2436 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3115, 30bitrd 187 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
323, 6, 313bitr2d 215 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
331, 32syl5bb 191 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  ℂcc 7662   + caddc 7667   · cmul 7669   < clt 7844   − cmin 7977  ℕcn 8764  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098   mod cmo 10146   ∥ cdvds 11549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fl 10094  df-mod 10147  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-dvds 11550 This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  11740  bezoutlemstep  11741
 Copyright terms: Public domain W3C validator