Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq1 5858 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) = (𝐾 · (𝑃↑𝑁))) |
2 | 1 | breq2d 3999 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ↔ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑𝑁)))) |
3 | | oveq1 5858 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))) = (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) |
4 | 3 | breq2d 3999 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) |
5 | 4 | notbid 662 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 = 𝐾 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) |
6 | 2, 5 | anbi12d 470 |
. . . 4
⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))))) |
7 | 6 | imbi1d 230 |
. . 3
⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷))) |
8 | | oveq2 5859 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑1)) |
9 | 8 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) = (𝑘 · (𝑃↑1))) |
10 | 9 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)))) |
11 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1)) |
12 | 11 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑(1 − 1))) |
13 | 12 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) |
14 | 13 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))))) |
15 | 14 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 1 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))))) |
16 | 10, 15 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))))) |
17 | 8 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝐷)) |
18 | 16, 17 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷))) |
19 | 18 | ralbidv 2470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷))) |
20 | 19 | imbi2d 229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷)))) |
21 | | oveq2 5859 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑛)) |
22 | 21 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) = (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) |
23 | 22 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
24 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 − 1) = (𝑛 − 1)) |
25 | 24 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑(𝑛 − 1))) |
26 | 25 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) |
27 | 26 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
28 | 27 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
29 | 23, 28 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))) |
30 | 21 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷)) |
31 | 29, 30 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
32 | 31 | ralbidv 2470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
33 | 32 | imbi2d 229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷)))) |
34 | | oveq2 5859 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑛 + 1))) |
35 | 34 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1)))) |
36 | 35 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))))) |
37 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1)) |
38 | 37 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) |
39 | 38 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) |
40 | 39 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))))) |
41 | 40 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))))) |
42 | 36, 41 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))))) |
43 | 34 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)) |
44 | 42, 43 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
45 | 44 | ralbidv 2470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
46 | 45 | imbi2d 229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))) |
47 | | oveq2 5859 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑁)) |
48 | 47 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) = (𝑘 · (𝑃↑𝑁))) |
49 | 48 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)))) |
50 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1)) |
51 | 50 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑(𝑁 − 1))) |
52 | 51 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) |
53 | 52 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) |
54 | 53 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) |
55 | 49, 54 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))))) |
56 | 47 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷)) |
57 | 55, 56 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷))) |
58 | 57 | ralbidv 2470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷))) |
59 | 58 | imbi2d 229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃↑𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷)))) |
60 | | breq1 3990 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃))) |
61 | | breq1 3990 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 ∥ 𝑘 ↔ 𝐷 ∥ 𝑘)) |
62 | 61 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝐷 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑘 ↔ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘)) |
63 | 60, 62 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘))) |
64 | | breq2 3991 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ 𝐷)) |
65 | 63, 64 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝐷 → (((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝐷))) |
66 | 65 | imbi2d 229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝐷 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝑥)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝐷)))) |
67 | | simplrl 530 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ) |
68 | | prmnn 12053 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
69 | 67, 68 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ) |
70 | | simpll 524 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → 𝑥 ∈ ℤ) |
71 | | dvdsdc 11749 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) →
DECID 𝑃
∥ 𝑥) |
72 | 69, 70, 71 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → DECID 𝑃 ∥ 𝑥) |
73 | | coprm 12087 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬
𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1)) |
74 | 67, 70, 73 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1)) |
75 | | zcn 9206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℂ) |
76 | 75 | ad2antll 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℂ) |
77 | | prmz 12054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℤ) |
78 | 77 | ad2antrl 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℤ) |
79 | 78 | zcnd 9324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℂ) |
80 | 76, 79 | mulcomd 7930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑘)) |
81 | 80 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘))) |
82 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈
ℤ) |
83 | 78, 82 | gcdcomd 11918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 gcd 𝑥) = (𝑥 gcd 𝑃)) |
84 | 83 | eqeq1d 2179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃 gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑥 gcd 𝑃) = 1)) |
85 | 81, 84 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ (𝑃 gcd 𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘) ∧ (𝑥 gcd 𝑃) = 1))) |
86 | | simprr 527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℤ) |
87 | | coprmdvds 12035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘) ∧ (𝑥 gcd 𝑃) = 1) → 𝑥 ∥ 𝑘)) |
88 | 82, 78, 86, 87 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘) ∧ (𝑥 gcd 𝑃) = 1) → 𝑥 ∥ 𝑘)) |
89 | 85, 88 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ (𝑃 gcd 𝑥) = 1) → 𝑥 ∥ 𝑘)) |
90 | 89 | expdimp 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑥) = 1 → 𝑥 ∥ 𝑘)) |
91 | 74, 90 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → 𝑥 ∥ 𝑘)) |
92 | | con1dc 851 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(DECID 𝑃 ∥ 𝑥 → ((¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → 𝑥 ∥ 𝑘) → (¬ 𝑥 ∥ 𝑘 → 𝑃 ∥ 𝑥))) |
93 | 72, 91, 92 | sylc 62 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → (¬ 𝑥 ∥ 𝑘 → 𝑃 ∥ 𝑥)) |
94 | 93 | expimpd 361 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝑥)) |
95 | 94 | ex 114 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝑥))) |
96 | 66, 95 | vtoclga 2796 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝐷))) |
97 | 96 | impl 378 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝐷)) |
98 | 77 | zcnd 9324 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℂ) |
99 | 98 | exp1d 10593 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃) |
100 | 99 | ad2antlr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑1) = 𝑃) |
101 | 100 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑃↑1)) = (𝑘 · 𝑃)) |
102 | 101 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃))) |
103 | | 1m1e0 8936 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
− 1) = 0 |
104 | 103 | oveq2i 5862 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑃↑(1 − 1)) = (𝑃↑0) |
105 | 77 | ad2antlr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈
ℤ) |
106 | 105 | zcnd 9324 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈
ℂ) |
107 | 106 | exp0d 10592 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑0) = 1) |
108 | 104, 107 | eqtrid 2215 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑(1 − 1)) =
1) |
109 | 108 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) = (𝑘 · 1)) |
110 | 75 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℂ) |
111 | 110 | mulid1d 7926 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 1) = 𝑘) |
112 | 109, 111 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) = 𝑘) |
113 | 112 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ 𝑘)) |
114 | 113 | notbid 662 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬
𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘)) |
115 | 102, 114 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷 ∥ 𝑘))) |
116 | 106 | exp1d 10593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑1) = 𝑃) |
117 | 116 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑1) ∥ 𝐷 ↔ 𝑃 ∥ 𝐷)) |
118 | 97, 115, 117 | 3imtr4d 202 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷)) |
119 | 118 | ralrimiva 2543 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) →
∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷)) |
120 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) = (𝑥 · (𝑃↑𝑛))) |
121 | 120 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)))) |
122 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) |
123 | 122 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
124 | 123 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
125 | 121, 124 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))) |
126 | 125 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
127 | 126 | cbvralvw 2700 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑘 ∈
ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷)) |
128 | | simprr 527 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℤ) |
129 | 77 | ad2antrl 487 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℤ) |
130 | 128, 129 | zmulcld 9329 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) |
131 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛))) |
132 | 131 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)))) |
133 | | oveq1 5858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) |
134 | 133 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
135 | 134 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
136 | 132, 135 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))) |
137 | 136 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
138 | 137 | rspcv 2830 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
139 | 130, 138 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(∀𝑥 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
140 | | nnnn0 9131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℕ0) |
141 | 140 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈
ℕ0) |
142 | | zexpcl 10480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)
→ (𝑃↑𝑛) ∈
ℤ) |
143 | 129, 141,
142 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ) |
144 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈
ℤ) |
145 | | divides 11740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷)) |
146 | 143, 144,
145 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷)) |
147 | 94 | adantll 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘) → 𝑃 ∥ 𝑥)) |
148 | 68 | ad2antrl 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℕ) |
149 | 148 | nncnd 8881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℂ) |
150 | 140 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈
ℕ0) |
151 | 149, 150 | expp1d 10599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) = ((𝑃↑𝑛) · 𝑃)) |
152 | 148, 150 | nnexpcld 10620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ) |
153 | 152 | nncnd 8881 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℂ) |
154 | 153, 149 | mulcomd 7930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑𝑛) · 𝑃) = (𝑃 · (𝑃↑𝑛))) |
155 | 151, 154 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) = (𝑃 · (𝑃↑𝑛))) |
156 | 155 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑𝑛)))) |
157 | 75 | ad2antll 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℂ) |
158 | 157, 149,
153 | mulassd 7932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑𝑛)))) |
159 | 156, 158 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) = ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛))) |
160 | 159 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ↔ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)))) |
161 | | simplr 525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈
ℤ) |
162 | | simprr 527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℤ) |
163 | 148 | nnzd 9322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℤ) |
164 | 162, 163 | zmulcld 9329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ) |
165 | 152 | nnzd 9322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ) |
166 | 152 | nnne0d 8912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) ≠ 0) |
167 | | dvdsmulcr 11772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃))) |
168 | 161, 164,
165, 166, 167 | syl112anc 1237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃))) |
169 | 160, 168 | bitrd 187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ↔ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃))) |
170 | | dvdsmulcr 11772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑥 ∥ 𝑘)) |
171 | 161, 162,
165, 166, 170 | syl112anc 1237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑥 ∥ 𝑘)) |
172 | 171 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (¬
(𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘)) |
173 | 169, 172 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) ↔ (𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥 ∥ 𝑘))) |
174 | 155 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ↔ (𝑃 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)))) |
175 | | dvdsmulcr 11772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0)) → ((𝑃 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥)) |
176 | 163, 161,
165, 166, 175 | syl112anc 1237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥)) |
177 | 174, 176 | bitrd 187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥)) |
178 | 147, 173,
177 | 3imtr4d 202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)))) |
179 | 178 | an32s 563 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)))) |
180 | | breq1 3990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))))) |
181 | | breq1 3990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
182 | 181 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → (¬ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
183 | 180, 182 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → (((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))))) |
184 | | breq2 3991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ↔ (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)) |
185 | 183, 184 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛))) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
186 | 179, 185 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
187 | 186 | rexlimdva 2587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(∃𝑥 ∈ ℤ
(𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
188 | 187 | adantlr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(∃𝑥 ∈ ℤ
(𝑥 · (𝑃↑𝑛)) = 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
189 | 146, 188 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
190 | 189 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷 → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
191 | 190 | a2d 26 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
192 | 75 | ad2antll 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℂ) |
193 | 129 | zcnd 9324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈
ℂ) |
194 | 143 | zcnd 9324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℂ) |
195 | 192, 193,
194 | mulassd 7932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑𝑛)))) |
196 | 193, 194 | mulcomd 7930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃↑𝑛)) = ((𝑃↑𝑛) · 𝑃)) |
197 | 193, 141 | expp1d 10599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) = ((𝑃↑𝑛) · 𝑃)) |
198 | 196, 197 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑛 + 1))) |
199 | 198 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑𝑛))) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1)))) |
200 | 195, 199 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1)))) |
201 | 200 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))))) |
202 | | nnm1nn0 9165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈
ℕ0) |
203 | 202 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑛 − 1) ∈
ℕ0) |
204 | | zexpcl 10480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑛 − 1) ∈
ℕ0) → (𝑃↑(𝑛 − 1)) ∈ ℤ) |
205 | 129, 203,
204 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 − 1)) ∈ ℤ) |
206 | 205 | zcnd 9324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ) |
207 | 192, 193,
206 | mulassd 7932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))) |
208 | 193, 206 | mulcomd 7930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = ((𝑃↑(𝑛 − 1)) · 𝑃)) |
209 | | simpll 524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈
ℕ) |
210 | | expm1t 10493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑛) = ((𝑃↑(𝑛 − 1)) · 𝑃)) |
211 | 193, 209,
210 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑𝑛) = ((𝑃↑(𝑛 − 1)) · 𝑃)) |
212 | 208, 211 | eqtr4d 2206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑃↑𝑛)) |
213 | 212 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) = (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) |
214 | 207, 213 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) |
215 | 214 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
216 | 215 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (¬
𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
217 | 201, 216 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))))) |
218 | 217 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷))) |
219 | | nncn 8875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℂ) |
220 | 219 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈
ℂ) |
221 | | ax-1cn 7856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 1 ∈
ℂ |
222 | | pncan 8114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝑛 + 1)
− 1) = 𝑛) |
223 | 220, 221,
222 | sylancl 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛) |
224 | 223 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑃↑𝑛)) |
225 | 224 | oveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) |
226 | 225 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
227 | 226 | notbid 662 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (¬
𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)))) |
228 | 227 | anbi2d 461 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))))) |
229 | 228 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
230 | 191, 218,
229 | 3imtr4d 202 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
231 | 139, 230 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) →
(∀𝑥 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
232 | 231 | anassrs 398 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) →
(∀𝑥 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
233 | 232 | ralrimdva 2550 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) →
(∀𝑥 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
234 | 127, 233 | syl5bi 151 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) →
(∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))) |
235 | 234 | expl 376 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) →
(∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))) |
236 | 235 | a2d 26 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) →
∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃↑𝑛) ∥ 𝐷)) → ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))) |
237 | 20, 33, 46, 59, 119, 236 | nnind 8883 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) →
∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷))) |
238 | 237 | com12 30 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ →
∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷))) |
239 | 238 | impr 377 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) →
∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷)) |
240 | 239 | adantll 473 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) →
∀𝑘 ∈ ℤ
((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷)) |
241 | | simpll 524 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈
ℤ) |
242 | 7, 240, 241 | rspcdva 2839 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷)) |
243 | 242 | 3impia 1195 |
1
⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) → (𝑃↑𝑁) ∥ 𝐷) |