Theorem dvdsval3 11790

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem dvdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9267	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nnne0 8942	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
3	1, 2	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0))
4		dvdsval2 11789	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	3expa 1203	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
6	3, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
7		zq 9621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
9		nnq 9628	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℚ)
11		nngt0 8939	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
13		modq0 10323	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
14	8, 10, 12, 13	syl3anc 1238	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
15	6, 14	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871  0cc0 7807   < clt 7987   / cdiv 8624  ℕcn 8914  ℤcz 9248  ℚcq 9614   mod cmo 10316   ∥ cdvds 11786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-q 9615  df-rp 9649  df-fl 10264  df-mod 10317  df-dvds 11787

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11792  dvdsdc  11797  moddvds  11798  summodnegmod  11821  mulmoddvds  11860  mod2eq0even  11874  odzdvds  12236  m1dvdsndvds  12239  fldivp1  12337  4sqlem10  12376  lgslem1  14263  lgsne0  14301  lgsprme0  14305