Theorem dvdsval3 11740

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem dvdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9218	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nnne0 8893	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
3	1, 2	jca 304	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0))
4		dvdsval2 11739	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	3expa 1198	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
6	3, 5	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
7		zq 9572	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
8	7	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
9		nnq 9579	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
10	9	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℚ)
11		nngt0 8890	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
12	11	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
13		modq0 10272	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
14	8, 10, 12, 13	syl3anc 1233	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
15	6, 14	bitr4d 190	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  0cc0 7761   < clt 7941   / cdiv 8576  ℕcn 8865  ℤcz 9199  ℚcq 9565   mod cmo 10265   ∥ cdvds 11736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-mod 10266  df-dvds 11737

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  11742  dvdsdc  11747  moddvds  11748  summodnegmod  11771  mulmoddvds  11810  mod2eq0even  11824  odzdvds  12186  m1dvdsndvds  12189  fldivp1  12287  4sqlem10  12326  lgslem1  13616  lgsne0  13654  lgsprme0  13658