Theorem dvdsval3 12470

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem dvdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9592	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nnne0 9261	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
3	1, 2	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0))
4		dvdsval2 12469	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	3expa 1230	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
6	3, 5	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
7		zq 9954	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
9		nnq 9961	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℚ)
11		nngt0 9258	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
13		modq0 10687	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
14	8, 10, 12, 13	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
15	6, 14	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  0cc0 8123   < clt 8304   / cdiv 8942  ℕcn 9233  ℤcz 9573  ℚcq 9947   mod cmo 10680   ∥ cdvds 12466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-q 9948  df-rp 9983  df-fl 10626  df-mod 10681  df-dvds 12467

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  12472  dvdsdc  12477  moddvds  12478  summodnegmod  12501  mulmoddvds  12542  mod2eq0even  12557  odzdvds  12936  m1dvdsndvds  12939  fldivp1  13039  4sqlem10  13078  lgslem1  15860  lgsne0  15898  lgsprme0  15902  lgseisenlem1  15930  2lgs  15964