Theorem dvdsle 12594

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	a1d 22	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
3		simplll 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpllr 540	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 < 𝑀)
7	3, 4, 5, 6	dvdslelemd 12593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
8	7	neneqd 2441	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
9	8	nrexdv 2643	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
10		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9750	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		divides 12539	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
14	10, 12, 13	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
15	9, 14	mtbird 684	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)
16	15	pm2.21d 628	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
17		nnz 9646	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		zlelttric 9672	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
19	17, 18	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
20	2, 16, 19	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℕcn 9287  ℤcz 9627   ∥ cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  12595  dvdsssfz1  12602  fzm1ndvds  12606  fzo0dvdseq  12607  n2dvds1  12662  gcd1  12747  bezoutlemle  12768  dfgcd2  12774  gcdzeq  12782  bezoutr1  12793  lcmgcdlem  12838  ncoprmgcdne1b  12850  qredeq  12857  isprm3  12879  prmdvdsfz  12900  isprm5lem  12902  isprm6  12908  prmfac1  12913  pcpre1  13054  pcidlem  13085  pcprod  13108  pcfac  13112  pockthg  13119  1arith  13129  4sqlem11  13163  znidomb  14976  lgsdir  16137  lgsdilem2  16138  lgsne0  16140  lgsquadlem2  16180  2sqlem8  16225