Theorem dvdsle 11728

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	a1d 22	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
3		simplll 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpllr 524	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 < 𝑀)
7	3, 4, 5, 6	dvdslelemd 11727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
8	7	neneqd 2348	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
9	8	nrexdv 2550	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
10		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9279	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		divides 11678	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
14	10, 12, 13	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
15	9, 14	mtbird 663	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)
16	15	pm2.21d 609	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
17		nnz 9180	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		zlelttric 9206	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
19	17, 18	sylan2 284	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
20	2, 16, 19	mpjaodan 788	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   · cmul 7731   < clt 7906   ≤ cle 7907  ℕcn 8827  ℤcz 9161   ∥ cdvds 11676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-q 9522  df-dvds 11677

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  11729  dvdsssfz1  11736  fzm1ndvds  11740  fzo0dvdseq  11741  n2dvds1  11795  gcd1  11862  bezoutlemle  11883  dfgcd2  11889  gcdzeq  11897  bezoutr1  11908  lcmgcdlem  11945  ncoprmgcdne1b  11957  qredeq  11964  isprm3  11986  prmdvdsfz  12006  isprm6  12012  prmfac1  12017