Theorem dvdsle 12398

Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsle	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2	1	a1d 22	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
3		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 < 𝑀)
7	3, 4, 5, 6	dvdslelemd 12397	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑀) ≠ 𝑁)
8	7	neneqd 2421	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ¬ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
9	8	nrexdv 2623	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
10		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9594	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		divides 12343	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
15	9, 14	mtbird 677	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ∥ 𝑁)
16	15	pm2.21d 622	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
17		nnz 9491	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		zlelttric 9517	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
19	17, 18	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
20	2, 16, 19	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   · cmul 8030   < clt 8207   ≤ cle 8208  ℕcn 9136  ℤcz 9472   ∥ cdvds 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-q 9847  df-dvds 12342

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  12399  dvdsssfz1  12406  fzm1ndvds  12410  fzo0dvdseq  12411  n2dvds1  12466  gcd1  12551  bezoutlemle  12572  dfgcd2  12578  gcdzeq  12586  bezoutr1  12597  lcmgcdlem  12642  ncoprmgcdne1b  12654  qredeq  12661  isprm3  12683  prmdvdsfz  12704  isprm5lem  12706  isprm6  12712  prmfac1  12717  pcpre1  12858  pcidlem  12889  pcprod  12912  pcfac  12916  pockthg  12923  1arith  12933  4sqlem11  12967  znidomb  14665  lgsdir  15757  lgsdilem2  15758  lgsne0  15760  lgsquadlem2  15800  2sqlem8  15845