Theorem dvdsnprmd 12699

Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsnprmd.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnprmd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnprmd.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 12355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 12352	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5		2z 9507	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		dvdsnprmd.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11		breq2 4092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14		dvdsnprmd.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
15		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19		0lt1 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
20		0red 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 8194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		lttr 8253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
24	19, 23	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26	25	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
27	16, 18, 26	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28	27	3exp 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
30	1, 2, 29	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
31	14, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34		ltmulgt12 9045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
36	13, 35	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37		df-2 9202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39		1zzd 9506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40		zltp1le 9534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
41	39, 40	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
42	41	bicomd 141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
45	38, 44	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
46	36, 45	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47		eluz2 9761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
48	6, 7, 46, 47	syl3anbrc 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
49	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51		1zzd 9506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52		zltp1le 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
53	51, 52	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
54	53	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
55	37	breq1i 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
56	54, 55	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
57	49, 50, 56	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
60	1, 2, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
61	14, 60	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62		eluz2 9761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
63	61, 62	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
65	64	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
66		nprm 12697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
67	48, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68		eleq1 2294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
69	68	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
70	69	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
71	67, 70	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
72	71	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
73	72	rexlimdva 2650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
74	4, 73	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
75	1, 74	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215  2c2 9194  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755   ∥ cdvds 12350  ℙcprime 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-prm 12682

This theorem is referenced by: (None)