Theorem dvdsnprmd 12491

Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsnprmd.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnprmd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnprmd.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 12147	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 12144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5		2z 9407	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		dvdsnprmd.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11		breq2 4051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14		dvdsnprmd.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
15		zre 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		zre 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19		0lt1 8206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
20		0red 8080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 8094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		lttr 8153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
24	19, 23	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26	25	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
27	16, 18, 26	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28	27	3exp 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
30	1, 2, 29	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
31	14, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34		ltmulgt12 8945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
36	13, 35	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37		df-2 9102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39		1zzd 9406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40		zltp1le 9434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
41	39, 40	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
42	41	bicomd 141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
45	38, 44	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
46	36, 45	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47		eluz2 9661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
48	6, 7, 46, 47	syl3anbrc 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
49	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51		1zzd 9406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52		zltp1le 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
53	51, 52	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
54	53	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
55	37	breq1i 4054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
56	54, 55	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
57	49, 50, 56	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
60	1, 2, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
61	14, 60	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62		eluz2 9661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
63	61, 62	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
65	64	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
66		nprm 12489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
67	48, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68		eleq1 2269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
69	68	notbid 669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
70	69	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
71	67, 70	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
72	71	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
73	72	rexlimdva 2624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
74	4, 73	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
75	1, 74	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℝcr 7931  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937   < clt 8114   ≤ cle 8115  2c2 9094  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655   ∥ cdvds 12142  ℙcprime 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-er 6627  df-en 6835  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-prm 12474

This theorem is referenced by: (None)