Theorem dvdsnprmd 11806

Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsnprmd.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnprmd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnprmd.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 11498	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 11495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5		2z 9082	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		dvdsnprmd.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
9	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11		breq2 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
12	11	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
13	10, 12	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14		dvdsnprmd.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
15		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant1 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant3 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19		0lt1 7889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
20		0red 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 7781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		lttr 7838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
24	19, 23	mpani 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
25	24	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26	25	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
27	16, 18, 26	3jca 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28	27	3exp 1180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
30	1, 2, 29	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
31	14, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
32	31	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34		ltmulgt12 8623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
36	13, 35	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37		df-2 8779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39		1zzd 9081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40		zltp1le 9108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
41	39, 40	mpancom 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
42	41	bicomd 140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
43	42	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
45	38, 44	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
46	36, 45	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47		eluz2 9332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
48	6, 7, 46, 47	syl3anbrc 1165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
49	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51		1zzd 9081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52		zltp1le 9108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
53	51, 52	mpancom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
54	53	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
55	37	breq1i 3936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
56	54, 55	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
57	49, 50, 56	3jca 1161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
58	57	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
59	58	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
60	1, 2, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
61	14, 60	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62		eluz2 9332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
63	61, 62	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	63	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
65	64	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
66		nprm 11804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
67	48, 65, 66	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68		eleq1 2202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
69	68	notbid 656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
70	69	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
71	67, 70	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
72	71	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
73	72	rexlimdva 2549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
74	4, 73	sylbid 149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
75	1, 74	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801  2c2 8771  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326   ∥ cdvds 11493  ℙcprime 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-prm 11789

This theorem is referenced by: (None)