ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd GIF version

Theorem dvdsnprmd 12125
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)
dvdsnprmd.l (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐‘)
dvdsnprmd.d (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ๐‘)
2 dvdszrcl 11799 . . . 4 (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 divides 11796 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘))
41, 2, 33syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘))
5 2z 9281 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
65a1i 9 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
7 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐‘)
98adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด < ๐‘)
109adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด < ๐‘)
11 breq2 4008 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ (๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†” ๐ด < ๐‘))
1211adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†” ๐ด < ๐‘))
1310, 12mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)
15 zre 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
16153ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 zre 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
18173ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
19 0lt1 8084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
20 0red 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 1red 7972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 lttr 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
2419, 23mpani 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
2524imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
26253adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < ๐ด)
2716, 18, 263jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
28273exp 1202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
2928adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
301, 2, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
3114, 30mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)))
3231imp 124 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
3332adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
34 ltmulgt12 8822 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด)))
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด)))
3613, 35mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 1 < ๐‘˜)
37 df-2 8978 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3837breq1i 4011 . . . . . . . . . 10 (2 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜)
39 1zzd 9280 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
40 zltp1le 9307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4139, 40mpancom 422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4241bicomd 141 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4342adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4443adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4538, 44bitrid 192 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (2 โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4636, 45mpbird 167 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘˜)
47 eluz2 9534 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1181 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
495a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
50 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
51 1zzd 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
52 zltp1le 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
5351, 52mpancom 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
5453biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5537breq1i 4011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 โ‰ค ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5654, 55sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
5749, 50, 563jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
5857ex 115 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
5958adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
601, 2, 593syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
6114, 60mpd 13 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
62 eluz2 9534 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
6361, 62sylibr 134 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6463adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6564adantr 276 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
66 nprm 12123 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
6748, 65, 66syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
68 eleq1 2240 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
6968notbid 667 . . . . . . 7 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ (ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7069adantl 277 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7167, 70mpbid 147 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)
7271ex 115 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7372rexlimdva 2594 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
744, 73sylbid 150 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
751, 74mpd 13 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993  2c2 8970  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528   โˆฅ cdvds 11794  โ„™cprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-prm 12108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator