ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd GIF version

Theorem dvdsnprmd 11189
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l (𝜑𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d (𝜑𝐴𝑁)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (𝜑𝐴𝑁)
2 dvdszrcl 10883 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 10880 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
41, 2, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5 2z 8748 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
65a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7 simplr 497 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝑁)
98adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
109adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11 breq2 3841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1211adantl 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1310, 12mpbird 165 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝐴)
15 zre 8724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 zre 8724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18173ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 0lt1 7589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
20 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 lttr 7538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2419, 23mpani 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
2524imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26253adant3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
2716, 18, 263jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28273exp 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
2928adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
301, 2, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
3114, 30mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
3231imp 122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3332adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34 ltmulgt12 8298 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3613, 35mpbird 165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37 df-2 8452 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3837breq1i 3844 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40 zltp1le 8774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4139, 40mpancom 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4241bicomd 139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4342adantl 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4443adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4538, 44syl5bb 190 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4636, 45mpbird 165 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47 eluz2 8994 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
495a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52 zltp1le 8774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5351, 52mpancom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5453biimpa 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
5537breq1i 3844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
5654, 55sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
5749, 50, 563jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
5857ex 113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
5958adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
601, 2, 593syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
6114, 60mpd 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62 eluz2 8994 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6361, 62sylibr 132 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6463adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6564adantr 270 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
66 nprm 11187 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
6748, 65, 66syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68 eleq1 2150 . . . . . . . 8 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
6968notbid 627 . . . . . . 7 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7069adantl 271 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7167, 70mpbid 145 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
7271ex 113 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7372rexlimdva 2489 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
744, 73sylbid 148 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
751, 74mpd 13 1 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334   < clt 7501  cle 7502  2c2 8444  cz 8720  cuz 8988  cdvds 10878  cprime 11171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879  df-prm 11172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator