Theorem dvdsnprmd 12613

Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less then the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsnprmd.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnprmd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsnprmd.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 12269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 12266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5		2z 9442	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		dvdsnprmd.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11		breq2 4066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14		dvdsnprmd.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
15		zre 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	3ad2ant1 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		zre 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18	17	3ad2ant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19		0lt1 8241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 < 1
20		0red 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		lttr 8188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
24	19, 23	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26	25	3adant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
27	16, 18, 26	3jca 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28	27	3exp 1207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
30	1, 2, 29	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
31	14, 30	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34		ltmulgt12 8980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
36	13, 35	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37		df-2 9137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 4069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39		1zzd 9441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40		zltp1le 9469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
41	39, 40	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
42	41	bicomd 141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
45	38, 44	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
46	36, 45	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47		eluz2 9696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
48	6, 7, 46, 47	syl3anbrc 1186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
49	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51		1zzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52		zltp1le 9469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
53	51, 52	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
54	53	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
55	37	breq1i 4069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
56	54, 55	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
57	49, 50, 56	3jca 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
59	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
60	1, 2, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
61	14, 60	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62		eluz2 9696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
63	61, 62	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
65	64	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
66		nprm 12611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
67	48, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68		eleq1 2272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
69	68	notbid 671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
70	69	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
71	67, 70	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
72	71	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
73	72	rexlimdva 2628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
74	4, 73	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
75	1, 74	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972   < clt 8149   ≤ cle 8150  2c2 9129  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690   ∥ cdvds 12264  ℙcprime 12595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-2o 6533  df-er 6650  df-en 6858  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-dvds 12265  df-prm 12596

This theorem is referenced by: (None)