![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > oddm1even | GIF version |
Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddm1even | โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ 2 โฅ (๐ โ 1))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 109 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โค) | |
2 | 1 | zcnd 9395 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โ) |
3 | 1cnd 7992 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ 1 โ โ) | |
4 | 2cnd 9011 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ 2 โ โ) | |
5 | simpr 110 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โค) | |
6 | 5 | zcnd 9395 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ โ) |
7 | 4, 6 | mulcld 7997 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (2 ยท ๐) โ โ) |
8 | 2, 3, 7 | subadd2d 8306 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ โ 1) = (2 ยท ๐) โ ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) |
9 | eqcom 2191 | . . . . 5 โข ((๐ โ 1) = (2 ยท ๐) โ (2 ยท ๐) = (๐ โ 1)) | |
10 | 4, 6 | mulcomd 7998 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (2 ยท ๐) = (๐ ยท 2)) |
11 | 10 | eqeq1d 2198 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((2 ยท ๐) = (๐ โ 1) โ (๐ ยท 2) = (๐ โ 1))) |
12 | 9, 11 | bitrid 192 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ โ 1) = (2 ยท ๐) โ (๐ ยท 2) = (๐ โ 1))) |
13 | 8, 12 | bitr3d 190 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (๐ ยท 2) = (๐ โ 1))) |
14 | 13 | rexbidva 2487 | . 2 โข (๐ โ โค โ (โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท 2) = (๐ โ 1))) |
15 | odd2np1 11897 | . 2 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | |
16 | 2z 9300 | . . 3 โข 2 โ โค | |
17 | peano2zm 9310 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ โค) | |
18 | divides 11815 | . . 3 โข ((2 โ โค โง (๐ โ 1) โ โค) โ (2 โฅ (๐ โ 1) โ โ๐ โ โค (๐ ยท 2) = (๐ โ 1))) | |
19 | 16, 17, 18 | sylancr 414 | . 2 โข (๐ โ โค โ (2 โฅ (๐ โ 1) โ โ๐ โ โค (๐ ยท 2) = (๐ โ 1))) |
20 | 14, 15, 19 | 3bitr4d 220 | 1 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ 2 โฅ (๐ โ 1))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1364 โ wcel 2160 โwrex 2469 class class class wbr 4018 (class class class)co 5891 1c1 7831 + caddc 7833 ยท cmul 7835 โ cmin 8147 2c2 8989 โคcz 9272 โฅ cdvds 11813 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-precex 7940 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-apti 7945 ax-pre-ltadd 7946 ax-pre-mulgt0 7947 ax-pre-mulext 7948 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-reap 8551 df-ap 8558 df-div 8649 df-inn 8939 df-2 8997 df-n0 9196 df-z 9273 df-dvds 11814 |
This theorem is referenced by: oddp1even 11900 n2dvds3 11939 oddennn 12417 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |