ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddm1even GIF version

Theorem oddm1even 11899
Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddm1even (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))

Proof of Theorem oddm1even
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21zcnd 9395 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 1cnd 7992 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4 2cnd 9011 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
65zcnd 9395 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
74, 6mulcld 7997 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
82, 3, 7subadd2d 8306 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
9 eqcom 2191 . . . . 5 ((๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›) โ†” (2 ยท ๐‘›) = (๐‘ โˆ’ 1))
104, 6mulcomd 7998 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (๐‘› ยท 2))
1110eqeq1d 2198 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = (๐‘ โˆ’ 1) โ†” (๐‘› ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1)))
129, 11bitrid 192 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›) โ†” (๐‘› ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1)))
138, 12bitr3d 190 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” (๐‘› ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1)))
1413rexbidva 2487 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1)))
15 odd2np1 11897 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
16 2z 9300 . . 3 2 โˆˆ โ„ค
17 peano2zm 9310 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 divides 11815 . . 3 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1)))
1916, 17, 18sylancr 414 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = (๐‘ โˆ’ 1)))
2014, 15, 193bitr4d 220 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โˆƒwrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835   โˆ’ cmin 8147  2c2 8989  โ„คcz 9272   โˆฅ cdvds 11813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-dvds 11814
This theorem is referenced by:  oddp1even  11900  n2dvds3  11939  oddennn  12417
  Copyright terms: Public domain W3C validator