Theorem dvdssqim 12430

Description: Unidirectional form of dvdssq 12437. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 12185	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2		zsqcl 10787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
3		zsqcl 10787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
4		dvdsmul2 12210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
5	2, 3, 4	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
6		zcn 9407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
7		zcn 9407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		sqmul 10778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
10	5, 9	breqtrrd 4082	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2))
11		oveq1 5969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = (𝑁↑2))
12	11	breq2d 4066	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
13	10, 12	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
14	13	rexlimdva 2624	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
15	14	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
16	1, 15	sylbid 150	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  ℂcc 7953   · cmul 7960  2c2 9117  ℤcz 9402  ↑cexp 10715   ∥ cdvds 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-dvds 12184

This theorem is referenced by:  sqgcd  12435  dvdssqlem  12436