Theorem coprmdvds2 12415

Description: If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem coprmdvds2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 12100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
2	1	3adant1 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
4		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
5		simpl2 1004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zcn 9377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		zcn 9377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		mulcom 8054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
10	4, 5, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
11	10	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥)))
12		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
13		simpl1 1003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		coprmdvds 12414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∥ 𝑥))
15	13, 5, 4, 14	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∥ 𝑥))
16	12, 15	mpan2d 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) → 𝑀 ∥ 𝑥))
17	11, 16	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑥))
18		dvdsmulc 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
19	13, 4, 5, 18	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
20	17, 19	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
21		breq2 4048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝐾))
22		breq2 4048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))
23	21, 22	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
24	20, 23	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
25	24	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
26	25	rexlimdva 2623	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
27	3, 26	sylbid 150	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
28	27	com23 78	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
29	28	impd 254	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∃wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  1c1 7926   · cmul 7930  ℤcz 9372   ∥ cdvds 12098   gcd cgcd 12274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-dvds 12099  df-gcd 12275

This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  12417  crth  12546