ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalgb GIF version

Theorem divalgb 11929
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 11928 in terms of โˆฅ. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 df-3an 980 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
21rexbii 2484 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3 r19.42v 2634 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
42, 3bitri 184 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
5 zsubcl 9293 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
6 divides 11795 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
75, 6sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
873impb 1199 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
983com12 1207 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
10 zcn 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
12 zmulcl 9305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1312zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
14 subadd 8159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1510, 11, 13, 14syl3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 8093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1711, 13, 16syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
18173adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1918eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
2015, 19bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
21 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))
22 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
2320, 21, 223bitr3g 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
24233expia 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2524expcomd 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))))
26253impia 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2726imp 124 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
2827rexbidva 2474 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
29283com23 1209 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
309, 29bitrd 188 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3130anbi2d 464 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
324, 31bitr4id 199 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
33 anass 401 . . . . . 6 (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
3432, 33bitrdi 196 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
35343expa 1203 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
3635reubidva 2659 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
37 elnn0z 9265 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ))
3837anbi1i 458 . . . . . 6 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
39 anass 401 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4038, 39bitri 184 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4140eubii 2035 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
42 df-reu 2462 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
43 df-reu 2462 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4441, 42, 433bitr4ri 213 . . 3 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
4536, 44bitrdi 196 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
46453adant3 1017 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353  โˆƒ!weu 2026   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒwrex 2456  โˆƒ!wreu 2457   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  abscabs 11005   โˆฅ cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  divalg2  11930
  Copyright terms: Public domain W3C validator