ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalgb GIF version

Theorem divalgb 11924
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 11923 in terms of . (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 df-3an 980 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
21rexbii 2484 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3 r19.42v 2634 . . . . . . . 8 (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
42, 3bitri 184 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5 zsubcl 9292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑁𝑟) ∈ ℤ)
6 divides 11791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑟) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
75, 6sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
873impb 1199 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
983com12 1207 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟)))
10 zcn 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11 zcn 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
12 zmulcl 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
1312zcnd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
14 subadd 8158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
1510, 11, 13, 14syl3an 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16 addcom 8092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
1711, 13, 16syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
18173adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
1918eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
2015, 19bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
21 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟))
22 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
2320, 21, 223bitr3g 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
24233expia 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
2524expcomd 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))))
26253impia 1200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
2726imp 124 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2827rexbidva 2474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
29283com23 1209 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
309, 29bitrd 188 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3130anbi2d 464 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
324, 31bitr4id 199 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
33 anass 401 . . . . . 6 (((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
3432, 33bitrdi 196 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
35343expa 1203 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
3635reubidva 2659 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
37 elnn0z 9264 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
3837anbi1i 458 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
39 anass 401 . . . . . 6 (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4038, 39bitri 184 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4140eubii 2035 . . . 4 (∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
42 df-reu 2462 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
43 df-reu 2462 . . . 4 (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))))
4441, 42, 433bitr4ri 213 . . 3 (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
4536, 44bitrdi 196 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
46453adant3 1017 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑟))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  ∃!weu 2026  wcel 2148  wne 2347  wrex 2456  ∃!wreu 2457   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990  cle 7991  cmin 8126  0cn0 9174  cz 9251  abscabs 11001  cdvds 11789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-dvds 11790
This theorem is referenced by:  divalg2  11925
  Copyright terms: Public domain W3C validator