Theorem djuin 7165

Description: The images of any classes under right and left injection produce disjoint sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Proof shortened by BJ, 9-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuin	⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅

Proof of Theorem djuin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4687	. . 3 ⊢ (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
2		df-ima 4687	. . 3 ⊢ (inr “ 𝐵) = ran (inr ↾ 𝐵)
3	1, 2	ineq12i 3371	. 2 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = (ran (inl ↾ 𝐴) ∩ ran (inr ↾ 𝐵))
4		djuinr 7164	. 2 ⊢ (ran (inl ↾ 𝐴) ∩ ran (inr ↾ 𝐵)) = ∅
5	3, 4	eqtri 2225	1 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1372   ∩ cin 3164  ∅c0 3459  ran crn 4675   ↾ cres 4676   “ cima 4677  inlcinl 7146  inrcinr 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-1o 6501  df-inl 7148  df-inr 7149

This theorem is referenced by:  caseinl  7192  caseinr  7193  endjusym  7197  ctssdccl  7212  dju1p1e2  7304  endjudisj  7321  djuen  7322