Theorem djuin 7125

Description: The images of any classes under right and left injection produce disjoint sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Proof shortened by BJ, 9-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuin	⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅

Proof of Theorem djuin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4673	. . 3 ⊢ (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
2		df-ima 4673	. . 3 ⊢ (inr “ 𝐵) = ran (inr ↾ 𝐵)
3	1, 2	ineq12i 3359	. 2 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = (ran (inl ↾ 𝐴) ∩ ran (inr ↾ 𝐵))
4		djuinr 7124	. 2 ⊢ (ran (inl ↾ 𝐴) ∩ ran (inr ↾ 𝐵)) = ∅
5	3, 4	eqtri 2214	1 ⊢ ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐵)) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364   ∩ cin 3153  ∅c0 3447  ran crn 4661   ↾ cres 4662   “ cima 4663  inlcinl 7106  inrcinr 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-inl 7108  df-inr 7109

This theorem is referenced by:  caseinl  7152  caseinr  7153  endjusym  7157  ctssdccl  7172  dju1p1e2  7259  endjudisj  7272  djuen  7273