ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuen GIF version

Theorem djuen 7083
Description: Disjoint unions of equinumerous sets are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
djuen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem djuen
StepHypRef Expression
1 encv 6647 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
21adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
32simpld 111 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4 eninl 6989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
53, 4syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
6 simpl 108 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → 𝐴𝐵)
7 entr 6685 . . . . 5 (((inl “ 𝐴) ≈ 𝐴𝐴𝐵) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐵)
85, 6, 7syl2anc 409 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐵)
9 eninl 6989 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (inl “ 𝐵) ≈ 𝐵)
102, 9simpl2im 384 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inl “ 𝐵) ≈ 𝐵)
1110ensymd 6684 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → 𝐵 ≈ (inl “ 𝐵))
12 entr 6685 . . . 4 (((inl “ 𝐴) ≈ 𝐵𝐵 ≈ (inl “ 𝐵)) → (inl “ 𝐴) ≈ (inl “ 𝐵))
138, 11, 12syl2anc 409 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inl “ 𝐴) ≈ (inl “ 𝐵))
14 encv 6647 . . . . . . . 8 (𝐶𝐷 → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
1514adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
1615simpld 111 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ V)
17 eninr 6990 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → (inr “ 𝐶) ≈ 𝐶)
1816, 17syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inr “ 𝐶) ≈ 𝐶)
19 entr 6685 . . . . 5 (((inr “ 𝐶) ≈ 𝐶𝐶𝐷) → (inr “ 𝐶) ≈ 𝐷)
2018, 19sylancom 417 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inr “ 𝐶) ≈ 𝐷)
21 eninr 6990 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → (inr “ 𝐷) ≈ 𝐷)
2215, 21simpl2im 384 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inr “ 𝐷) ≈ 𝐷)
2322ensymd 6684 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → 𝐷 ≈ (inr “ 𝐷))
24 entr 6685 . . . 4 (((inr “ 𝐶) ≈ 𝐷𝐷 ≈ (inr “ 𝐷)) → (inr “ 𝐶) ≈ (inr “ 𝐷))
2520, 23, 24syl2anc 409 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (inr “ 𝐶) ≈ (inr “ 𝐷))
26 djuin 6956 . . . 4 ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐶)) = ∅
2726a1i 9 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐶)) = ∅)
28 djuin 6956 . . . 4 ((inl “ 𝐵) ∩ (inr “ 𝐷)) = ∅
2928a1i 9 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ((inl “ 𝐵) ∩ (inr “ 𝐷)) = ∅)
30 unen 6717 . . 3 ((((inl “ 𝐴) ≈ (inl “ 𝐵) ∧ (inr “ 𝐶) ≈ (inr “ 𝐷)) ∧ (((inl “ 𝐴) ∩ (inr “ 𝐶)) = ∅ ∧ ((inl “ 𝐵) ∩ (inr “ 𝐷)) = ∅)) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐶)) ≈ ((inl “ 𝐵) ∪ (inr “ 𝐷)))
3113, 25, 27, 29, 30syl22anc 1218 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐶)) ≈ ((inl “ 𝐵) ∪ (inr “ 𝐷)))
32 djuun 6959 . 2 ((inl “ 𝐴) ∪ (inr “ 𝐶)) = (𝐴𝐶)
33 djuun 6959 . 2 ((inl “ 𝐵) ∪ (inr “ 𝐷)) = (𝐵𝐷)
3431, 32, 333brtr3g 3968 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2689  cun 3073  cin 3074  c0 3367   class class class wbr 3936  cima 4549  cen 6639  cdju 6929  inlcinl 6937  inrcinr 6938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940
This theorem is referenced by:  djuenun  7084  exmidunben  11973  enctlem  11979
  Copyright terms: Public domain W3C validator