ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulpipqqs GIF version

Theorem mulpipqqs 7371
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulpipqqs (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ] ~Q )

Proof of Theorem mulpipqqs
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘ก ๐‘  ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N)
2 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N) โ†’ (๐ต ยทN ๐ท) โˆˆ N)
3 opelxpi 4658 . . . 4 (((๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N โˆง (๐ต ยทN ๐ท) โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
54an4s 588 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
6 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘Ž ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
7 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ (๐‘ ยทN โ„Ž) โˆˆ N)
8 opelxpi 4658 . . . 4 (((๐‘Ž ยทN ๐‘”) โˆˆ N โˆง (๐‘ ยทN โ„Ž) โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐‘Ž ยทN ๐‘”), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
96, 7, 8syl2an 289 . . 3 (((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐‘Ž ยทN ๐‘”), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
109an4s 588 . 2 (((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐‘Ž ยทN ๐‘”), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
11 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ก โˆˆ N) โ†’ (๐‘ ยทN ๐‘ก) โˆˆ N)
12 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘‘ โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N) โ†’ (๐‘‘ ยทN ๐‘ ) โˆˆ N)
13 opelxpi 4658 . . . 4 (((๐‘ ยทN ๐‘ก) โˆˆ N โˆง (๐‘‘ ยทN ๐‘ ) โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐‘ ยทN ๐‘ก), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
1411, 12, 13syl2an 289 . . 3 (((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ก โˆˆ N) โˆง (๐‘‘ โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐‘ ยทN ๐‘ก), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
1514an4s 588 . 2 (((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘ก โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐‘ ยทN ๐‘ก), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
16 enqex 7358 . 2 ~Q โˆˆ V
17 enqer 7356 . 2 ~Q Er (N ร— N)
18 df-enq 7345 . 2 ~Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))}
19 simpll 527 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘Ž)
20 simprr 531 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ๐‘ข = ๐‘‘)
2119, 20oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘Ž ยทN ๐‘‘))
22 simplr 528 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ๐‘ค = ๐‘)
23 simprl 529 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ๐‘ฃ = ๐‘)
2422, 23oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ ยทN ๐‘))
2521, 24eqeq12d 2192 . 2 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)))
26 simpll 527 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ง = ๐‘”)
27 simprr 531 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ )
2826, 27oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘” ยทN ๐‘ ))
29 simplr 528 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ค = โ„Ž)
30 simprl 529 . . . 4 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ฃ = ๐‘ก)
3129, 30oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก))
3228, 31eqeq12d 2192 . 2 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)))
33 dfmpq2 7353 . 2 ยทpQ = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ))}
34 simpll 527 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ ๐‘ค = ๐‘Ž)
35 simprl 529 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ ๐‘ข = ๐‘”)
3634, 35oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘Ž ยทN ๐‘”))
37 simplr 528 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ ๐‘ฃ = ๐‘)
38 simprr 531 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ ๐‘“ = โ„Ž)
3937, 38oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN โ„Ž))
4036, 39opeq12d 3786 . 2 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ(๐‘Ž ยทN ๐‘”), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ)
41 simpll 527 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ค = ๐‘)
42 simprl 529 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ข = ๐‘ก)
4341, 42oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ ยทN ๐‘ก))
44 simplr 528 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ ๐‘ฃ = ๐‘‘)
45 simprr 531 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ ๐‘“ = ๐‘ )
4644, 45oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ ))
4743, 46opeq12d 3786 . 2 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ(๐‘ ยทN ๐‘ก), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ)
48 simpll 527 . . . 4 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ค = ๐ด)
49 simprl 529 . . . 4 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ข = ๐ถ)
5048, 49oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐ด ยทN ๐ถ))
51 simplr 528 . . . 4 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ฃ = ๐ต)
52 simprr 531 . . . 4 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ ๐‘“ = ๐ท)
5351, 52oveq12d 5892 . . 3 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐ต ยทN ๐ท))
5450, 53opeq12d 3786 . 2 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ โŸจ(๐‘ค ยทN ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
55 df-mqqs 7348 . 2 ยทQ = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘‘((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ] ~Q โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ] ~Q ) โˆง ๐‘ง = [(โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ ยทpQ โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ)] ~Q ))}
56 df-nqqs 7346 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
57 mulcmpblnq 7366 . 2 ((((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘‘ โˆˆ N)) โˆง ((๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โˆง (๐‘ก โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘) โˆง (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)) โ†’ โŸจ(๐‘Ž ยทN ๐‘”), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ ~Q โŸจ(๐‘ ยทN ๐‘ก), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ))
585, 10, 15, 16, 17, 18, 25, 32, 33, 40, 47, 54, 55, 56, 57oviec 6640 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐ด ยทN ๐ถ), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3595   ร— cxp 4624  (class class class)co 5874  [cec 6532  Ncnpi 7270   ยทN cmi 7272   ยทpQ cmpq 7275   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   ยทQ cmq 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-mqqs 7348
This theorem is referenced by:  mulclnq  7374  mulcomnqg  7381  mulassnqg  7382  distrnqg  7385  mulidnq  7387  recexnq  7388  ltmnqg  7399  nqnq0m  7453
  Copyright terms: Public domain W3C validator