ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpipqqs GIF version

Theorem addpipqqs 7388
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addpipqqs (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ] ~Q )

Proof of Theorem addpipqqs
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘ก ๐‘  ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addpipqqslem 7387 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
2 addpipqqslem 7387 . 2 (((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
3 addpipqqslem 7387 . 2 (((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘ก โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
4 enqex 7378 . 2 ~Q โˆˆ V
5 enqer 7376 . 2 ~Q Er (N ร— N)
6 df-enq 7365 . 2 ~Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))}
7 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ข = ๐‘‘) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘Ž ยทN ๐‘‘))
8 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ ยทN ๐‘))
97, 8eqeqan12d 2205 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ข = ๐‘‘) โˆง (๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)))
109an42s 589 . 2 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)))
11 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ข = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘” ยทN ๐‘ ))
12 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ค = โ„Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘ก) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก))
1311, 12eqeqan12d 2205 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ข = ๐‘ ) โˆง (๐‘ค = โ„Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘ก)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)))
1413an42s 589 . 2 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)))
15 dfplpq2 7372 . 2 +pQ = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ))}
16 oveq12 5900 . . . . 5 ((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘“ = โ„Ž) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘“) = (๐‘Ž ยทN โ„Ž))
17 oveq12 5900 . . . . 5 ((๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘”) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) = (๐‘ ยทN ๐‘”))
1816, 17oveqan12d 5910 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘“ = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘”)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)))
1918an42s 589 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)))
20 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘“ = โ„Ž) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN โ„Ž))
2120ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN โ„Ž))
2219, 21opeq12d 3801 . 2 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ)
23 oveq12 5900 . . . . 5 ((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘“ = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN ๐‘ ))
24 oveq12 5900 . . . . 5 ((๐‘ฃ = ๐‘‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘ก) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ก))
2523, 24oveqan12d 5910 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘“ = ๐‘ ) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘ก)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)))
2625an42s 589 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)))
27 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ฃ = ๐‘‘ โˆง ๐‘“ = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ ))
2827ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ ))
2926, 28opeq12d 3801 . 2 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ)
30 oveq12 5900 . . . . 5 ((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘“) = (๐ด ยทN ๐ท))
31 oveq12 5900 . . . . 5 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ข = ๐ถ) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) = (๐ต ยทN ๐ถ))
3230, 31oveqan12d 5910 . . . 4 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘“ = ๐ท) โˆง (๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ข = ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)))
3332an42s 589 . . 3 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)))
34 oveq12 5900 . . . 4 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐ต ยทN ๐ท))
3534ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐ต ยทN ๐ท))
3633, 35opeq12d 3801 . 2 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
37 df-plqqs 7367 . 2 +Q = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘‘((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ] ~Q โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ] ~Q ) โˆง ๐‘ง = [(โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ +pQ โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ)] ~Q ))}
38 df-nqqs 7366 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
39 addcmpblnq 7385 . 2 ((((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘‘ โˆˆ N)) โˆง ((๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โˆง (๐‘ก โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘) โˆง (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)) โ†’ โŸจ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ ~Q โŸจ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 22, 29, 36, 37, 38, 39oviec 6659 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โŸจcop 3610  (class class class)co 5891  [cec 6551  Ncnpi 7290   +N cpli 7291   ยทN cmi 7292   +pQ cplpq 7294   ~Q ceq 7297  Qcnq 7298   +Q cplq 7300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7322  df-pli 7323  df-mi 7324  df-plpq 7362  df-enq 7365  df-nqqs 7366  df-plqqs 7367
This theorem is referenced by:  addclnq  7393  addcomnqg  7399  addassnqg  7400  distrnqg  7405  ltanqg  7418  1lt2nq  7424  ltexnqq  7426  nqnq0a  7472  addpinq1  7482
  Copyright terms: Public domain W3C validator