ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpipqqs GIF version

Theorem addpipqqs 7369
Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addpipqqs (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ] ~Q )

Proof of Theorem addpipqqs
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘ก ๐‘  ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addpipqqslem 7368 . 2 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
2 addpipqqslem 7368 . 2 (((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
3 addpipqqslem 7368 . 2 (((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘ก โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N)) โ†’ โŸจ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
4 enqex 7359 . 2 ~Q โˆˆ V
5 enqer 7357 . 2 ~Q Er (N ร— N)
6 df-enq 7346 . 2 ~Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))}
7 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ข = ๐‘‘) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘Ž ยทN ๐‘‘))
8 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ ยทN ๐‘))
97, 8eqeqan12d 2193 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ข = ๐‘‘) โˆง (๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)))
109an42s 589 . 2 (((๐‘ง = ๐‘Ž โˆง ๐‘ค = ๐‘) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘‘)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)))
11 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ข = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘” ยทN ๐‘ ))
12 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ค = โ„Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘ก) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก))
1311, 12eqeqan12d 2193 . . 3 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ข = ๐‘ ) โˆง (๐‘ค = โ„Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘ก)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)))
1413an42s 589 . 2 (((๐‘ง = ๐‘” โˆง ๐‘ค = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ก โˆง ๐‘ข = ๐‘ )) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)))
15 dfplpq2 7353 . 2 +pQ = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ))}
16 oveq12 5884 . . . . 5 ((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘“ = โ„Ž) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘“) = (๐‘Ž ยทN โ„Ž))
17 oveq12 5884 . . . . 5 ((๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘”) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) = (๐‘ ยทN ๐‘”))
1816, 17oveqan12d 5894 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘“ = โ„Ž) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘”)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)))
1918an42s 589 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)))
20 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ฃ = ๐‘ โˆง ๐‘“ = โ„Ž) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN โ„Ž))
2120ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN โ„Ž))
2219, 21opeq12d 3787 . 2 (((๐‘ค = ๐‘Ž โˆง ๐‘ฃ = ๐‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘” โˆง ๐‘“ = โ„Ž)) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ)
23 oveq12 5884 . . . . 5 ((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘“ = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘“) = (๐‘ ยทN ๐‘ ))
24 oveq12 5884 . . . . 5 ((๐‘ฃ = ๐‘‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘ก) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ก))
2523, 24oveqan12d 5894 . . . 4 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘“ = ๐‘ ) โˆง (๐‘ฃ = ๐‘‘ โˆง ๐‘ข = ๐‘ก)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)))
2625an42s 589 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)))
27 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ฃ = ๐‘‘ โˆง ๐‘“ = ๐‘ ) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ ))
2827ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐‘‘ ยทN ๐‘ ))
2926, 28opeq12d 3787 . 2 (((๐‘ค = ๐‘ โˆง ๐‘ฃ = ๐‘‘) โˆง (๐‘ข = ๐‘ก โˆง ๐‘“ = ๐‘ )) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ)
30 oveq12 5884 . . . . 5 ((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘“) = (๐ด ยทN ๐ท))
31 oveq12 5884 . . . . 5 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ข = ๐ถ) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข) = (๐ต ยทN ๐ถ))
3230, 31oveqan12d 5894 . . . 4 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘“ = ๐ท) โˆง (๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘ข = ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)))
3332an42s 589 . . 3 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)) = ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)))
34 oveq12 5884 . . . 4 ((๐‘ฃ = ๐ต โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐ต ยทN ๐ท))
3534ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฃ ยทN ๐‘“) = (๐ต ยทN ๐ท))
3633, 35opeq12d 3787 . 2 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทN ๐‘“) +N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทN ๐‘“)โŸฉ = โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ)
37 df-plqqs 7348 . 2 +Q = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘‘((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ] ~Q โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ] ~Q ) โˆง ๐‘ง = [(โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ +pQ โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ)] ~Q ))}
38 df-nqqs 7347 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
39 addcmpblnq 7366 . 2 ((((๐‘Ž โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘‘ โˆˆ N)) โˆง ((๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โˆง (๐‘ก โˆˆ N โˆง ๐‘  โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘Ž ยทN ๐‘‘) = (๐‘ ยทN ๐‘) โˆง (๐‘” ยทN ๐‘ ) = (โ„Ž ยทN ๐‘ก)) โ†’ โŸจ((๐‘Ž ยทN โ„Ž) +N (๐‘ ยทN ๐‘”)), (๐‘ ยทN โ„Ž)โŸฉ ~Q โŸจ((๐‘ ยทN ๐‘ ) +N (๐‘‘ ยทN ๐‘ก)), (๐‘‘ ยทN ๐‘ )โŸฉ))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 22, 29, 36, 37, 38, 39oviec 6641 1 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ N โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐ด ยทN ๐ท) +N (๐ต ยทN ๐ถ)), (๐ต ยทN ๐ท)โŸฉ] ~Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596  (class class class)co 5875  [cec 6533  Ncnpi 7271   +N cpli 7272   ยทN cmi 7273   +pQ cplpq 7275   ~Q ceq 7278  Qcnq 7279   +Q cplq 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-plpq 7343  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348
This theorem is referenced by:  addclnq  7374  addcomnqg  7380  addassnqg  7381  distrnqg  7386  ltanqg  7399  1lt2nq  7405  ltexnqq  7407  nqnq0a  7453  addpinq1  7463
  Copyright terms: Public domain W3C validator