Theorem fczsupp0 6458

Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fczsupp0	⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑞 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-supp 6435	. . . . . 6 ⊢ supp = (𝑓 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ {𝑞 ∈ dom 𝑓 ∣ (𝑓 “ {𝑞}) ≠ {𝑧}})
2	1	elmpocl 6248	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		fnconstg 5564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
6	2	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
7		elsuppfng 6441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	5, 6, 3, 7	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍))
10	9	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		fvconst2g 5897	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
13	9	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍)
14	13	neneqd 2433	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ¬ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
15	12, 14	pm2.65i 644	. 2 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍)
16	15	nel0 3529	1 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  {crab 2524  Vcvv 2812  ∅c0 3507  {csn 3688   × cxp 4746  dom cdm 4748   “ cima 4751   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by:  fczfsuppd  7249