Theorem fczsupp0 6461

Description: The support of a constant function with value zero is empty. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fczsupp0	⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Proof of Theorem fczsupp0

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑞 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-supp 6438	. . . . . 6 ⊢ supp = (𝑓 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ {𝑞 ∈ dom 𝑓 ∣ (𝑓 “ {𝑞}) ≠ {𝑧}})
2	1	elmpocl 6251	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3	2	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		fnconstg 5567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
6	2	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
7		elsuppfng 6444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 ∧ (𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	5, 6, 3, 7	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍))
10	9	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		fvconst2g 5900	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
13	9	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) ≠ 𝑍)
14	13	neneqd 2435	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) → ¬ ((𝐵 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
15	12, 14	pm2.65i 644	. 2 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍)
16	15	nel0 3532	1 ⊢ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  {crab 2526  Vcvv 2815  ∅c0 3510  {csn 3691   × cxp 4749  dom cdm 4751   “ cima 4754   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   supp csupp 6437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-supp 6438

This theorem is referenced by:  fczfsuppd  7252