Theorem suppssdc 6459

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.) (Proof shortened by SN, 5-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppss.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
suppssdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
suppssdc	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑥,𝑘,𝑊   𝑘,𝑍   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem suppssdc

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-supp 6435	. . . 4 ⊢ supp = (𝑓 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ {𝑖 ∈ dom 𝑓 ∣ (𝑓 “ {𝑖}) ≠ {𝑧}})
2	1	elmpocl 6248	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3		suppss.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
4	3	ffnd 5508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 ∈ V)
7		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
8		elsuppfng 6441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
10		eleq1w 2293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ 𝑊))
11	10	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑊 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝑊))
12		suppssdc.dc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑊)
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑊)
14		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
15	11, 13, 14	rspcdva 2925	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → DECID 𝑘 ∈ 𝑊)
16		eldif 3219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
17		suppss.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
18	17	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
19	16, 18	sylan2br 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
20	19	expr 375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍))
21	20	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑘 ∈ 𝑊 → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)))
22	21	necon1addc 2488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊)))
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
24	23	expimpd 363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
25	9, 24	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
26	25	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊)))
27	26	com23 78	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑘 ∈ 𝑊)))
28	2, 27	mpdi 43	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
29	28	ssrdv 3243	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520  {crab 2524  Vcvv 2812   ∖ cdif 3207   ⊆ wss 3210  {csn 3688  dom cdm 4748   “ cima 4751   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by: (None)