Theorem suppssdc 6494

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.) (Proof shortened by SN, 5-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
suppss.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
suppssdc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
suppssdc	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑥,𝑘,𝑊   𝑘,𝑍   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem suppssdc

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-supp 6470	. . . 4 ⊢ supp = (𝑓 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ {𝑖 ∈ dom 𝑓 ∣ (𝑓 “ {𝑖}) ≠ {𝑧}})
2	1	elmpocl 6278	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3		suppss.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
4	3	ffnd 5532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 Fn 𝐴)
6		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐹 ∈ V)
7		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
8		elsuppfng 6476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍)))
10		eleq1w 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ 𝑊))
11	10	dcbid 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑊 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝑊))
12		suppssdc.dc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑊)
13	12	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑊)
14		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
15	11, 13, 14	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → DECID 𝑘 ∈ 𝑊)
16		eldif 3229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
17		suppss.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
18	17	adantll 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
19	16, 18	sylan2br 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
20	19	expr 375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍))
21	20	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑘 ∈ 𝑊 → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)))
22	21	necon1addc 2496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊)))
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
24	23	expimpd 363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
25	9, 24	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
26	25	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊)))
27	26	com23 78	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑘 ∈ 𝑊)))
28	2, 27	mpdi 43	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑊))
29	28	ssrdv 3254	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  {csn 3708  dom cdm 4772   “ cima 4775   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   supp csupp 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-supp 6470

This theorem is referenced by: (None)