Theorem ffvelcdmi 5810

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmi.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmi	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmi.1	. 2 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2		ffvelcdm 5809	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  omgadd  11161  cjcl  11526  climmpt  11978  cn1lem  11992  climcn1lem  11997  fsumrelem  12150  efcl  12343  sincl  12385  coscl  12386  algcvg  12738  algcvgb  12740  algcvga  12741  algfx  12742  eucalgcvga  12748  eucalg  12749  sqpweven  12865  2sqpwodd  12866  ennnfonelemnn0  13162  relogcl  15714  konigsberglem5  16474  nninfomnilem  16783