Theorem ffvelcdmi 5781

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmi.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmi	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmi.1	. 2 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2		ffvelcdm 5780	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  omgadd  11066  cjcl  11410  climmpt  11862  cn1lem  11876  climcn1lem  11881  fsumrelem  12034  efcl  12227  sincl  12269  coscl  12270  algcvg  12622  algcvgb  12624  algcvga  12625  algfx  12626  eucalgcvga  12632  eucalg  12633  sqpweven  12749  2sqpwodd  12750  ennnfonelemnn0  13045  relogcl  15589  nninfomnilem  16641