ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omgadd GIF version

Theorem omgadd 10795
Description: Mapping ordinal addition to integer addition. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
omgadd.1 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
omgadd ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))

Proof of Theorem omgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5896 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o ∅))
21fveq2d 5531 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o ∅)))
3 fveq2 5527 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = (𝐺‘∅))
43oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
52, 4eqeq12d 2202 . . . 4 (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅))))
65imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))))
7 oveq2 5896 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 5531 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 5527 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑧))
109oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))
118, 10eqeq12d 2202 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)))))
13 oveq2 5896 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 5531 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 5527 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘suc 𝑧))
1615oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2202 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
1817imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
19 oveq2 5896 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐵))
2019fveq2d 5531 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)))
21 fveq2 5527 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐵 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝐵))
2221oveq2d 5904 . . . . 5 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
2320, 22eqeq12d 2202 . . . 4 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛)) ↔ (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
2423imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑛)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑛))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))))
25 omgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2625frechashgf1o 10441 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
27 f1of 5473 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:ω⟶ℕ0
2928ffvelcdmi 5663 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 9244 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
3130addid1d 8119 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + 0) = (𝐺𝐴))
32 0zd 9278 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
3332, 25frec2uz0d 10412 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘∅) = 0)
3433oveq2d 5904 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)) = ((𝐺𝐴) + 0))
35 nna0 6488 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3635fveq2d 5531 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = (𝐺𝐴))
3731, 34, 363eqtr4rd 2231 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o ∅)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘∅)))
38 nnasuc 6490 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
3938fveq2d 5531 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)))
40 0zd 9278 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 0 ∈ ℤ)
41 nnacl 6494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑧) ∈ ω)
4240, 25, 41frec2uzsucd 10414 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4339, 42eqtrd 2220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
44433adant3 1018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45303ad2ant1 1019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
4628ffvelcdmi 5663 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 9244 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
48473ad2ant2 1020 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
49 1cnd 7986 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → 1 ∈ ℂ)
5045, 48, 49addassd 7993 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
51 oveq1 5895 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
52513ad2ant3 1021 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) + 1))
53 0zd 9278 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
54 id 19 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ ω)
5553, 25, 54frec2uzsucd 10414 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
5655oveq2d 5904 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
57563ad2ant2 1020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + ((𝐺𝑧) + 1)))
5850, 52, 573eqtr4d 2230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
5944, 58eqtrd 2220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))
60593expia 1206 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧))))
6160expcom 116 . . . 4 (𝑧 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧)) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
6261a2d 26 . . 3 (𝑧 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝑧))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺‘suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 37, 62finds 4611 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵))))
6463impcom 125 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 𝐵)) = ((𝐺𝐴) + (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  c0 3434  cmpt 4076  suc csuc 4377  ωcom 4601  wf 5224  1-1-ontowf1o 5227  cfv 5228  (class class class)co 5888  freccfrec 6404   +o coa 6427  cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827  0cn0 9189  cz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-oadd 6434  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542
This theorem is referenced by:  hashun  10798
  Copyright terms: Public domain W3C validator