ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omgadd GIF version
Theorem omgadd 10781
Description: Mapping ordinal addition to integer addition. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
omgadd.1 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
omgadd ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
Proof of Theorem omgadd
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o βˆ…))
21fveq2d 5519 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)))
3 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜βˆ…))
43oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))
52, 4eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…))))
65imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = βˆ… β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))))
7 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝑧))
87fveq2d 5519 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)))
9 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘§))
109oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)))
118, 10eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)))))
13 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o suc 𝑧))
1413fveq2d 5519 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)))
15 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜suc 𝑧))
1615oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
1714, 16eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧))))
1817imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = suc 𝑧 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
19 oveq2 5882 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (𝐴 +o 𝑛) = (𝐴 +o 𝐡))
2019fveq2d 5519 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
21 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π΅))
2221oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
2320, 22eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›)) ↔ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅))))
2423imbi2d 230 . . 3 (𝑛 = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑛)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘›))) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))))
25 omgadd.1 . . . . . . . . 9 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
2625frechashgf1o 10427 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
27 f1of 5461 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0
2928ffvelcdmi 5650 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„•0)
3029nn0cnd 9230 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3130addid1d 8105 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + 0) = (πΊβ€˜π΄))
32 0zd 9264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 0 ∈ β„€)
3332, 25frec2uz0d 10398 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 0)
3433oveq2d 5890 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + 0))
35 nna0 6474 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 +o βˆ…) = 𝐴)
3635fveq2d 5519 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = (πΊβ€˜π΄))
3731, 34, 363eqtr4rd 2221 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o βˆ…)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜βˆ…)))
38 nnasuc 6476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o suc 𝑧) = suc (𝐴 +o 𝑧))
3938fveq2d 5519 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)))
40 0zd 9264 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ 0 ∈ β„€)
41 nnacl 6480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝑧) ∈ Ο‰)
4240, 25, 41frec2uzsucd 10400 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc (𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
4339, 42eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
44433adant3 1017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1))
45303ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
4628ffvelcdmi 5650 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
4746nn0cnd 9230 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
48473ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
49 1cnd 7972 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ 1 ∈ β„‚)
5045, 48, 49addassd 7979 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
51 oveq1 5881 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1))
52513ad2ant3 1020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = (((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) + 1))
53 0zd 9264 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ 0 ∈ β„€)
54 id 19 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ 𝑧 ∈ Ο‰)
5553, 25, 54frec2uzsucd 10400 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜suc 𝑧) = ((πΊβ€˜π‘§) + 1))
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
57563ad2ant2 1019 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + ((πΊβ€˜π‘§) + 1)))
5850, 52, 573eqtr4d 2220 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) + 1) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
5944, 58eqtrd 2210 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰ ∧ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))
60593expia 1205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑧 ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧))))
6160expcom 116 . . . 4 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
6261a2d 26 . . 3 (𝑧 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π‘§))) β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o suc 𝑧)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜suc 𝑧)))))
636, 12, 18, 24, 37, 62finds 4599 . 2 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅))))
6463impcom 125 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = ((πΊβ€˜π΄) + (πΊβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ…c0 3422   ↦ cmpt 4064  suc csuc 4365  Ο‰com 4589  βŸΆwf 5212  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  freccfrec 6390   +o coa 6413  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  β„•0cn0 9175  β„€cz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-oadd 6420  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528
This theorem is referenced by:  hashun  10784
  Copyright terms: Public domain W3C validator