ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sqpwodd GIF version

Theorem 2sqpwodd 12178
Description: The greatest power of two dividing twice the square of an integer is an odd power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
oddpwdc.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
2sqpwodd (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐ฝ(๐‘ง)

Proof of Theorem 2sqpwodd
StepHypRef Expression
1 oddpwdc.j . . . . . . . . 9 ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
2 oddpwdc.f . . . . . . . . 9 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
31, 2oddpwdc 12176 . . . . . . . 8 ๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„•
4 f1ocnv 5476 . . . . . . . 8 (๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„• โ†’ โ—ก๐น:โ„•โ€“1-1-ontoโ†’(๐ฝ ร— โ„•0))
5 f1of 5463 . . . . . . . 8 (โ—ก๐น:โ„•โ€“1-1-ontoโ†’(๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ โ—ก๐น:โ„•โŸถ(๐ฝ ร— โ„•0))
63, 4, 5mp2b 8 . . . . . . 7 โ—ก๐น:โ„•โŸถ(๐ฝ ร— โ„•0)
76ffvelcdmi 5652 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (โ—ก๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0))
8 xp2nd 6169 . . . . . 6 ((โ—ก๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
97, 8syl 14 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
109nn0zd 9375 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค)
11 2nn 9082 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
1211a1i 9 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
1312nnzd 9376 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1410, 13zmulcld 9383 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โˆˆ โ„ค)
15 dvdsmul2 11823 . . . 4 (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2))
1610, 13, 15syl2anc 411 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆฅ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2))
17 oddp1even 11883 . . . . 5 (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โ†” 2 โˆฅ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)))
1817biimprd 158 . . . 4 (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2)))
1918con2d 624 . . 3 (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)))
2014, 16, 19sylc 62 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1))
21 xp1st 6168 . . . . . . . . . . 11 ((โ—ก๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ฝ)
227, 21syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ฝ)
23 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ง โ†” 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
2423notbid 667 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง โ†” ยฌ 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
2524, 1elrab2 2898 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ฝ โ†” ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
2625simplbi 274 . . . . . . . . . 10 ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ฝ โ†’ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
2722, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
2827nnsqcld 10677 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ โ„•)
2925simprbi 275 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ฝ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))
3022, 29syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))
31 2prm 12129 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„™
3227nnzd 9376 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค)
33 euclemma 12148 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โ†” (2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆจ 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))))
34 oridm 757 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆจ 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โ†” 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))
3533, 34bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โ†” 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
3631, 32, 32, 35mp3an2i 1342 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โ†” 2 โˆฅ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
3730, 36mtbird 673 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
3827nncnd 8935 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3938sqvald 10653 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
4039breq2d 4017 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โ†” 2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))))
4137, 40mtbird 673 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2))
42 breq2 4009 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ง โ†” 2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
4342notbid 667 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง โ†” ยฌ 2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
4443, 1elrab2 2898 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ ๐ฝ โ†” (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
4528, 41, 44sylanbrc 417 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ ๐ฝ)
4612nnnn0d 9231 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
479, 46nn0mulcld 9236 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โˆˆ โ„•0)
48 peano2nn0 9218 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โˆˆ โ„•0)
4947, 48syl 14 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โˆˆ โ„•0)
50 opelxp 4658 . . . . . . 7 (โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†” (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ ๐ฝ โˆง (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โˆˆ โ„•0))
5145, 49, 50sylanbrc 417 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0))
5212nncnd 8935 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5352, 47expp1d 10657 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) = ((2โ†‘((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2)) ยท 2))
5452, 47expcld 10656 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2)) โˆˆ โ„‚)
5554, 52mulcomd 7981 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2))))
5652, 46, 9expmuld 10659 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2))
5756oveq2d 5893 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2))) = (2 ยท ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2)))
5853, 55, 573eqtrd 2214 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) = (2 ยท ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2)))
5958oveq1d 5892 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)) = ((2 ยท ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
6012, 49nnexpcld 10678 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) โˆˆ โ„•)
6160, 28nnmulcld 8970 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
62 oveq2 5885 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
63 oveq2 5885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘ฆ) = (2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)))
6463oveq1d 5892 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)) = ((2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
6562, 64, 2ovmpog 6011 . . . . . . . . 9 ((((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ ๐ฝ โˆง (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)) โˆˆ โ„•) โ†’ (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)๐น(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) = ((2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
6645, 49, 61, 65syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)๐น(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) = ((2โ†‘(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
67 f1ocnvfv2 5781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) = ๐ด)
683, 67mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) = ๐ด)
69 1st2nd2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ—ก๐นโ€˜๐ด) โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜๐ด) = โŸจ(1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)), (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โŸฉ)
707, 69syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (โ—ก๐นโ€˜๐ด) = โŸจ(1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)), (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โŸฉ)
7170fveq2d 5521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)), (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โŸฉ))
7268, 71eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)), (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โŸฉ))
73 df-ov 5880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))๐น(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)), (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โŸฉ)
7472, 73eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด = ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))๐น(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
7512, 9nnexpcld 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•)
7675, 27nnmulcld 8970 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•)
77 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
78 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โ†’ (2โ†‘๐‘ฆ) = (2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
7978oveq1d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) = ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
8077, 79, 2ovmpog 6011 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0 โˆง ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))๐น(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) = ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
8122, 9, 76, 80syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))๐น(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) = ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
8274, 81eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด = ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))))
8382oveq1d 5892 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) = (((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2))
8475nncnd 8935 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
8584, 38sqmuld 10668 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))) ยท (1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2) = (((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
8683, 85eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) = (((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
8786oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐ดโ†‘2)) = (2 ยท (((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2))))
8856, 54eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8928nncnd 8935 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
9052, 88, 89mulassd 7983 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)) = (2 ยท (((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2))))
9187, 90eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐ดโ†‘2)) = ((2 ยท ((2โ†‘(2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)))โ†‘2)) ยท ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)))
9259, 66, 913eqtr4rd 2221 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐ดโ†‘2)) = (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)๐น(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)))
93 df-ov 5880 . . . . . . 7 (((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2)๐น(((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)) = (๐นโ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ)
9492, 93eqtr2di 2227 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ) = (2 ยท (๐ดโ†‘2)))
95 f1ocnvfv 5782 . . . . . . 7 ((๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„• โˆง โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0)) โ†’ ((๐นโ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ) = (2 ยท (๐ดโ†‘2)) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2))) = โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ))
963, 95mpan 424 . . . . . 6 (โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ) = (2 ยท (๐ดโ†‘2)) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2))) = โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ))
9751, 94, 96sylc 62 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2))) = โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ)
9897fveq2d 5521 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2)))) = (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ))
99 op2ndg 6154 . . . . 5 ((((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ ๐ฝ โˆง (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ) = (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1))
10045, 49, 99syl2anc 411 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜โŸจ((1st โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด))โ†‘2), (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)โŸฉ) = (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1))
10198, 100eqtrd 2210 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2)))) = (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1))
102101breq2d 4017 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2)))) โ†” 2 โˆฅ (((2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐ด)) ยท 2) + 1)))
10320, 102mtbird 673 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (2nd โ€˜(โ—ก๐นโ€˜(2 ยท (๐ดโ†‘2)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {crab 2459  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005   ร— cxp 4626  โ—กccnv 4627  โŸถwf 5214  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5217  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   โˆˆ cmpo 5879  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  โ„‚cc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ†‘cexp 10521   โˆฅ cdvds 11796  โ„™cprime 12109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110
This theorem is referenced by:  sqne2sq  12179
  Copyright terms: Public domain W3C validator