Theorem nninfomnilem 15749

Description: Lemma for nninfomni 15750. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
nninfomnilem	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfex 7196	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ V
2		isomnimap 7212	. . 3 ⊢ (ℕ∞ ∈ V → (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
4		elmapi 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑟:ℕ∞⟶2o)
5		nninfsel.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
6	5	nninfself 15744	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸:(2o ↑𝑚 ℕ∞)⟶ℕ∞
7	6	ffvelcdmi 5699	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞)
8	4, 7	ffvelcdmd 5701	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ 2o)
9		df2o3 6497	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrdi 2289	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11		elpri 3646	. . . 4 ⊢ ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
13		fveqeq2 5570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑟) → ((𝑟‘𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅))
14	13	rspcev 2868	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅)
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
16	7, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
17		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
18		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o)
19	5, 17, 18	nninfsel 15748	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
21	16, 20	orim12d 787	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
22	12, 21	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
23	3, 22	mprgbir 2555	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  ∅c0 3451  ifcif 3562  {cpr 3624   ↦ cmpt 4095  suc csuc 4401  ωcom 4627  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477   ↑_𝑚 cmap 6716  ℕ_∞xnninf 7194  Omnicomni 7209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-nninf 7195  df-omni 7210

This theorem is referenced by:  nninfomni  15750