Theorem nninfomnilem 16070

Description: Lemma for nninfomni 16071. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
nninfomnilem	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfex 7235	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ V
2		isomnimap 7251	. . 3 ⊢ (ℕ∞ ∈ V → (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
4		elmapi 6767	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑟:ℕ∞⟶2o)
5		nninfsel.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
6	5	nninfself 16065	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸:(2o ↑𝑚 ℕ∞)⟶ℕ∞
7	6	ffvelcdmi 5724	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞)
8	4, 7	ffvelcdmd 5726	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ 2o)
9		df2o3 6526	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrdi 2299	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11		elpri 3658	. . . 4 ⊢ ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
13		fveqeq2 5595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑟) → ((𝑟‘𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅))
14	13	rspcev 2879	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅)
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
16	7, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
17		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
18		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o)
19	5, 17, 18	nninfsel 16069	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
21	16, 20	orim12d 788	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
22	12, 21	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
23	3, 22	mprgbir 2565	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  Vcvv 2773  ∅c0 3462  ifcif 3573  {cpr 3636   ↦ cmpt 4110  suc csuc 4417  ωcom 4643  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  1_oc1o 6505  2_oc2o 6506   ↑_𝑚 cmap 6745  ℕ_∞xnninf 7233  Omnicomni 7248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1o 6512  df-2o 6513  df-map 6747  df-nninf 7234  df-omni 7249

This theorem is referenced by:  nninfomni  16071