Theorem nninfomnilem 16646

Description: Lemma for nninfomni 16647. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
nninfomnilem	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfex 7320	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ V
2		isomnimap 7336	. . 3 ⊢ (ℕ∞ ∈ V → (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
4		elmapi 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑟:ℕ∞⟶2o)
5		nninfsel.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
6	5	nninfself 16641	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸:(2o ↑𝑚 ℕ∞)⟶ℕ∞
7	6	ffvelcdmi 5781	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞)
8	4, 7	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ 2o)
9		df2o3 6597	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrdi 2324	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11		elpri 3692	. . . 4 ⊢ ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
13		fveqeq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑟) → ((𝑟‘𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅))
14	13	rspcev 2910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅)
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
16	7, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
17		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
18		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o)
19	5, 17, 18	nninfsel 16645	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
21	16, 20	orim12d 793	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
22	12, 21	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
23	3, 22	mprgbir 2590	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  Vcvv 2802  ∅c0 3494  ifcif 3605  {cpr 3670   ↦ cmpt 4150  suc csuc 4462  ωcom 4688  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576   ↑_𝑚 cmap 6817  ℕ_∞xnninf 7318  Omnicomni 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1o 6582  df-2o 6583  df-map 6819  df-nninf 7319  df-omni 7334

This theorem is referenced by:  nninfomni  16647