Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfomnilem GIF version

Theorem nninfomnilem 12213
 Description: Lemma for nninfomni 12214. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
Assertion
Ref Expression
nninfomnilem ∈ Omni
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfex 12204 . . 3 ∈ V
2 isomnimap 6856 . . 3 (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o𝑚)(∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)))
31, 2ax-mp 7 . 2 (ℕ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o𝑚)(∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
4 elmapi 6443 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → 𝑟:ℕ⟶2o)
5 nninfsel.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
65nninfself 12208 . . . . . . 7 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
76ffvelrni 5449 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑟) ∈ ℕ)
84, 7ffvelrnd 5451 . . . . 5 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ 2o)
9 df2o3 6211 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
108, 9syl6eleq 2181 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11 elpri 3475 . . . 4 ((𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o))
1210, 11syl 14 . . 3 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o))
13 fveq2 5320 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝐸𝑟) → (𝑟𝑝) = (𝑟‘(𝐸𝑟)))
1413eqeq1d 2097 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝐸𝑟) → ((𝑟𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅))
1514rspcev 2725 . . . . . 6 (((𝐸𝑟) ∈ ℕ ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅)
1615ex 114 . . . . 5 ((𝐸𝑟) ∈ ℕ → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅))
177, 16syl 14 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅))
18 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o𝑚))
19 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o)
205, 18, 19nninfsel 12212 . . . . 5 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)
2120ex 114 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
2217, 21orim12d 736 . . 3 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)))
2312, 22mpd 13 . 2 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
243, 23mprgbir 2434 1 ∈ Omni
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  ∃wrex 2361  Vcvv 2622  ∅c0 3289  ifcif 3399  {cpr 3453   ↦ cmpt 3907  suc csuc 4203  ωcom 4420  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  1oc1o 6190  2oc2o 6191   ↑𝑚 cmap 6421  Omnicomni 6851  ℕ∞xnninf 6852 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1o 6197  df-2o 6198  df-map 6423  df-omni 6853  df-nninf 6854 This theorem is referenced by:  nninfomni  12214
 Copyright terms: Public domain W3C validator