Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfomnilem GIF version

Theorem nninfomnilem 13203
Description: Lemma for nninfomni 13204. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
Assertion
Ref Expression
nninfomnilem ∈ Omni
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfex 13194 . . 3 ∈ V
2 isomnimap 7002 . . 3 (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o𝑚)(∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℕ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o𝑚)(∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
4 elmapi 6557 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → 𝑟:ℕ⟶2o)
5 nninfsel.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
65nninfself 13198 . . . . . . 7 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
76ffvelrni 5547 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑟) ∈ ℕ)
84, 7ffvelrnd 5549 . . . . 5 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ 2o)
9 df2o3 6320 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
108, 9eleqtrdi 2230 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11 elpri 3545 . . . 4 ((𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o))
1210, 11syl 14 . . 3 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o))
13 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝐸𝑟) → (𝑟𝑝) = (𝑟‘(𝐸𝑟)))
1413eqeq1d 2146 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝐸𝑟) → ((𝑟𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅))
1514rspcev 2784 . . . . . 6 (((𝐸𝑟) ∈ ℕ ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅)
1615ex 114 . . . . 5 ((𝐸𝑟) ∈ ℕ → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅))
177, 16syl 14 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅))
18 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o𝑚))
19 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o)
205, 18, 19nninfsel 13202 . . . . 5 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)
2120ex 114 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
2217, 21orim12d 775 . . 3 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)))
2312, 22mpd 13 . 2 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
243, 23mprgbir 2488 1 ∈ Omni
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  Vcvv 2681  c0 3358  ifcif 3469  {cpr 3523  cmpt 3984  suc csuc 4282  ωcom 4499  cfv 5118  (class class class)co 5767  1oc1o 6299  2oc2o 6300  𝑚 cmap 6535  Omnicomni 6997  xnninf 6998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1o 6306  df-2o 6307  df-map 6537  df-omni 6999  df-nninf 7000
This theorem is referenced by:  nninfomni  13204
  Copyright terms: Public domain W3C validator