Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfomnilem GIF version

Theorem nninfomnilem 15221
Description: Lemma for nninfomni 15222. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
Assertion
Ref Expression
nninfomnilem ∈ Omni
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfex 7149 . . 3 ∈ V
2 isomnimap 7164 . . 3 (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o𝑚)(∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℕ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o𝑚)(∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
4 elmapi 6695 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → 𝑟:ℕ⟶2o)
5 nninfsel.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
65nninfself 15216 . . . . . . 7 𝐸:(2o𝑚)⟶ℕ
76ffvelcdmi 5670 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝐸𝑟) ∈ ℕ)
84, 7ffvelcdmd 5672 . . . . 5 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ 2o)
9 df2o3 6454 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
108, 9eleqtrdi 2282 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11 elpri 3630 . . . 4 ((𝑟‘(𝐸𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o))
1210, 11syl 14 . . 3 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o))
13 fveqeq2 5543 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝐸𝑟) → ((𝑟𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅))
1413rspcev 2856 . . . . . 6 (((𝐸𝑟) ∈ ℕ ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅)
1514ex 115 . . . . 5 ((𝐸𝑟) ∈ ℕ → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅))
167, 15syl 14 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅))
17 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o𝑚))
18 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o)
195, 17, 18nninfsel 15220 . . . . 5 ((𝑟 ∈ (2o𝑚) ∧ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)
2019ex 115 . . . 4 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → ((𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
2116, 20orim12d 787 . . 3 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (((𝑟‘(𝐸𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o)))
2212, 21mpd 13 . 2 (𝑟 ∈ (2o𝑚) → (∃𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑟𝑝) = 1o))
233, 22mprgbir 2548 1 ∈ Omni
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  Vcvv 2752  c0 3437  ifcif 3549  {cpr 3608  cmpt 4079  suc csuc 4383  ωcom 4607  cfv 5235  (class class class)co 5895  1oc1o 6433  2oc2o 6434  𝑚 cmap 6673  xnninf 7147  Omnicomni 7161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1o 6440  df-2o 6441  df-map 6675  df-nninf 7148  df-omni 7162
This theorem is referenced by:  nninfomni  15222
  Copyright terms: Public domain W3C validator