Theorem nninfomnilem 16724

Description: Lemma for nninfomni 16725. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
nninfomnilem	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑘,𝑛   𝑖,𝑞,𝑘,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑞)

Proof of Theorem nninfomnilem

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfex 7363	. . 3 ⊢ ℕ∞ ∈ V
2		isomnimap 7379	. . 3 ⊢ (ℕ∞ ∈ V → (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ∞ ∈ Omni ↔ ∀𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)(∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
4		elmapi 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑟:ℕ∞⟶2o)
5		nninfsel.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
6	5	nninfself 16719	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸:(2o ↑𝑚 ℕ∞)⟶ℕ∞
7	6	ffvelcdmi 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞)
8	4, 7	ffvelcdmd 5791	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ 2o)
9		df2o3 6640	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrdi 2324	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o})
11		elpri 3696	. . . 4 ⊢ ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) ∈ {∅, 1o} → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o))
13		fveqeq2 5657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝐸‘𝑟) → ((𝑟‘𝑝) = ∅ ↔ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅))
14	13	rspcev 2911	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅) → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅)
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑟) ∈ ℕ∞ → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
16	7, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ → ∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅))
17		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → 𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
18		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o)
19	5, 17, 18	nninfsel 16723	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → ((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
21	16, 20	orim12d 794	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (((𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = ∅ ∨ (𝑟‘(𝐸‘𝑟)) = 1o) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o)))
22	12, 21	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (∃𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = ∅ ∨ ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑟‘𝑝) = 1o))
23	3, 22	mprgbir 2591	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ifcif 3607  {cpr 3674   ↦ cmpt 4155  suc csuc 4468  ωcom 4694  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ↑_𝑚 cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7361  Omnicomni 7376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7362  df-omni 7377

This theorem is referenced by:  nninfomni  16725