ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgcvga GIF version
Theorem eucalgcvga 12060
Description: Once Euclid's Algorithm halts after 𝑁 steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (π‘₯ ∈ β„•0, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, βŸ¨π‘¦, (π‘₯ mod 𝑦)⟩))
eucalg.2 𝑅 = seq0((𝐸 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
eucalgcvga.3 𝑁 = (2nd β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
eucalgcvga (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑁   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem eucalgcvga
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucalgcvga.3 . . . . . . 7 𝑁 = (2nd β€˜π΄)
2 xp2nd 6169 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (2nd β€˜π΄) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eluznn0 9601 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
53, 4sylan 283 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6 nn0uz 9564 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7 eucalg.2 . . . . . . 7 𝑅 = seq0((𝐸 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
8 0zd 9267 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
9 id 19 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
10 eucalgval.1 . . . . . . . . 9 𝐸 = (π‘₯ ∈ β„•0, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, βŸ¨π‘¦, (π‘₯ mod 𝑦)⟩))
1110eucalgf 12057 . . . . . . . 8 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)⟢(β„•0 Γ— β„•0)
1211a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)⟢(β„•0 Γ— β„•0))
136, 7, 8, 9, 12algrf 12047 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝑅:β„•0⟢(β„•0 Γ— β„•0))
1413ffvelcdmda 5653 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
155, 14syldan 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
16 fvres 5541 . . . 4 ((π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)))
1715, 16syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)))
18 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
19 fvres 5541 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = (2nd β€˜π΄))
2019, 1eqtr4di 2228 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = 𝑁)
2120fveq2d 5521 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
2221eleq2d 2247 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) ↔ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
2322biimpar 297 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)))
24 f2ndres 6163 . . . . 5 (2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0)):(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•0
2510eucalglt 12059 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < (2nd β€˜π‘§)))
2611ffvelcdmi 5652 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (πΈβ€˜π‘§) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
27 fvres 5541 . . . . . . . 8 ((πΈβ€˜π‘§) ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) = (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)))
2826, 27syl 14 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) = (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)))
2928neeq1d 2365 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 ↔ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0))
30 fvres 5541 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
3128, 30breq12d 4018 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§) ↔ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < (2nd β€˜π‘§)))
3225, 29, 313imtr4d 203 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§)))
33 eqid 2177 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)
3411, 7, 24, 32, 33algcvga 12053 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
3518, 23, 34sylc 62 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0)
3617, 35eqtr3d 2212 . 2 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0)
3736ex 115 1 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  ifcif 3536  {csn 3594  βŸ¨cop 3597   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626   β†Ύ cres 4630   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  0cc0 7813   < clt 7994  β„•0cn0 9178  β„€β‰₯cuz 9530   mod cmo 10324  seqcseq 10447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448
This theorem is referenced by:  eucalg  12061
  Copyright terms: Public domain W3C validator