Theorem sincl 11874

Description: Closure of the sine function. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sincl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 11872	. 2 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2	1	ffvelcdmi 5697	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  ℂcc 7880  sincsin 11812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-ico 9972  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-fac 10821  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-ef 11816  df-sin 11818

This theorem is referenced by:  tanvalap  11876  tanclap  11877  sincld  11878  tannegap  11896  sin0  11897  efmival  11901  sinadd  11904  cosadd  11905  tanaddaplem  11906  sinsub  11908  cossub  11909  subsin  11911  sinmul  11912  cosmul  11913  addcos  11914  subcos  11915  sincossq  11916  sin2t  11917  cos2t  11918  cos2tsin  11919  demoivreALT  11942  sinhalfpilem  15053  sinmpi  15077  cosmpi  15078  sinppi  15079  cosppi  15080  efimpi  15081  sinhalfpip  15082  sinhalfpim  15083  coshalfpip  15084  coshalfpim  15085  sincos6thpi  15104  abssinper  15108