Theorem ffvelrni 5619

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvrni.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Assertion

Ref	Expression
ffvelrni	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvrni.1	. 2 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2		ffvelrn 5618	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 421	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  omgadd  10715  cjcl  10790  climmpt  11241  cn1lem  11255  climcn1lem  11260  fsumrelem  11412  efcl  11605  sincl  11647  coscl  11648  algcvg  11980  algcvgb  11982  algcvga  11983  algfx  11984  eucalgcvga  11990  eucalg  11991  sqpweven  12107  2sqpwodd  12108  ennnfonelemnn0  12355  relogcl  13423  nninfomnilem  13898