Theorem ffvelrnda 5619

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelrn 5617	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  ⟶wf 5183  ‘cfv 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-sbc 2951  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5620  f1ocnvdm  5748  foeqcnvco  5757  f1oiso2  5794  offeq  6062  suppssof1  6066  ofco  6067  caofref  6070  caofinvl  6071  caofcom  6072  caofrss  6073  caoftrn  6074  smofvon2dm  6260  smofvon  6263  mapxpen  6810  xpmapenlem  6811  en2eqpr  6869  supisoex  6970  ordiso2  6996  omp1eomlem  7055  ctssdccl  7072  ctssdc  7074  enumctlemm  7075  enomnilem  7098  fodjuomnilemdc  7104  ismkvnex  7115  enmkvlem  7121  enwomnilem  7129  cc3  7205  cauappcvgprlemladdru  7593  cauappcvgprlemladdrl  7594  caucvgprlemladdrl  7615  caucvgprprlemopu  7636  caucvgprprlemexbt  7643  caucvgprprlemexb  7644  caucvgsrlemcl  7726  caucvgsrlemfv  7728  caucvgsrlemcau  7730  caucvgsrlembound  7731  caucvgsrlemoffval  7733  caucvgsrlemofff  7734  caucvgsrlemoffgt1  7736  caucvgsrlemoffres  7737  caucvgsr  7739  axcaucvglemcl  7832  frecuzrdgfunlem  10350  monoord2  10408  seq3f1o  10435  seq3homo  10441  seqfeq3  10443  zfz1isolemiso  10748  seq3coll  10751  resqrexlemfp1  10947  resqrexlemover  10948  resqrexlemdec  10949  resqrexlemlo  10951  resqrexlemcalc1  10952  resqrexlemcalc2  10953  resqrexlemcalc3  10954  resqrexlemgt0  10958  resqrexlemsqa  10962  clim2ser  11274  clim2ser2  11275  isermulc2  11277  iserle  11279  climserle  11282  climrecvg1n  11285  climcvg1nlem  11286  summodclem3  11317  summodclem2a  11318  fsumgcl  11323  fsum3  11324  fsumf1o  11327  isumss  11328  fisumss  11329  fsumcl2lem  11335  fsumadd  11343  isumclim3  11360  isummulc2  11363  isumrecl  11366  isumadd  11368  fsummulc2  11385  iserabs  11412  cvgcmpub  11413  isumshft  11427  isumsplit  11428  mertensabs  11474  clim2prod  11476  clim2divap  11477  prodfap0  11482  prodfdivap  11484  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  fprodseq  11520  fprodf1o  11525  prodssdc  11526  fprodssdc  11527  fprodmul  11528  efcj  11610  nn0seqcvgd  11969  algrp1  11974  alginv  11975  algcvg  11976  algcvga  11979  algfx  11980  eucalgcvga  11986  eulerthlem1  12155  eulerthlemh  12159  eulerthlemth  12160  pcmptcl  12268  pcmpt  12269  1arithlem4  12292  nninfdclemf1  12381  cnptoprest2  12840  lmss  12846  txcnmpt  12873  txlm  12879  lmcn2  12880  psmetxrge0  12932  metcnp  13112  climcncf  13171  negfcncf  13189  ivthdec  13222  dvcnp2cntop  13263  dvaddxxbr  13265  dvimulf  13270  dvcj  13273  dvfre  13274  lgscllem  13508  lgsfle1  13510  lgsval4a  13523  lgsneg  13525  lgsdir  13536  lgsdilem2  13537  lgsdi  13538  lgsne0  13539  nninfall  13849  nninffeq  13860  refeq  13867  trilpolemclim  13875  trilpolemcl  13876  trilpolemisumle  13877  trilpolemeq1  13879  iswomni0  13890