Theorem ffvelrnda 5555

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelrn 5553	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5556  f1ocnvdm  5682  foeqcnvco  5691  f1oiso2  5728  offeq  5995  suppssof1  5999  ofco  6000  caofref  6003  caofinvl  6004  caofcom  6005  caofrss  6006  caoftrn  6007  smofvon2dm  6193  smofvon  6196  mapxpen  6742  xpmapenlem  6743  en2eqpr  6801  supisoex  6896  ordiso2  6920  omp1eomlem  6979  ctssdccl  6996  ctssdc  6998  enumctlemm  6999  enomnilem  7010  fodjuomnilemdc  7016  ismkvnex  7029  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprprlemopu  7507  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlemexb  7515  caucvgsrlemcl  7597  caucvgsrlemfv  7599  caucvgsrlemcau  7601  caucvgsrlembound  7602  caucvgsrlemoffval  7604  caucvgsrlemofff  7605  caucvgsrlemoffgt1  7607  caucvgsrlemoffres  7608  caucvgsr  7610  axcaucvglemcl  7703  frecuzrdgfunlem  10192  monoord2  10250  seq3f1o  10277  seq3homo  10283  seqfeq3  10285  zfz1isolemiso  10582  seq3coll  10585  resqrexlemfp1  10781  resqrexlemover  10782  resqrexlemdec  10783  resqrexlemlo  10785  resqrexlemcalc1  10786  resqrexlemcalc2  10787  resqrexlemcalc3  10788  resqrexlemgt0  10792  resqrexlemsqa  10796  clim2ser  11106  clim2ser2  11107  isermulc2  11109  iserle  11111  climserle  11114  climrecvg1n  11117  climcvg1nlem  11118  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  fsumgcl  11155  fsum3  11156  fsumf1o  11159  isumss  11160  fisumss  11161  fsumcl2lem  11167  fsumadd  11175  isumclim3  11192  isummulc2  11195  isumrecl  11198  isumadd  11200  fsummulc2  11217  iserabs  11244  cvgcmpub  11245  isumshft  11259  isumsplit  11260  mertensabs  11306  clim2prod  11308  clim2divap  11309  prodfap0  11314  prodfdivap  11316  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  efcj  11379  nn0seqcvgd  11722  algrp1  11727  alginv  11728  algcvg  11729  algcvga  11732  algfx  11733  eucalgcvga  11739  cnptoprest2  12409  lmss  12415  txcnmpt  12442  txlm  12448  lmcn2  12449  psmetxrge0  12501  metcnp  12681  climcncf  12740  negfcncf  12758  ivthdec  12791  dvcnp2cntop  12832  dvaddxxbr  12834  dvimulf  12839  dvcj  12842  dvfre  12843  nninfall  13204  nninffeq  13216  refeq  13223  trilpolemclim  13229  trilpolemcl  13230  trilpolemisumle  13231  trilpolemeq1  13233