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Theorem ctssdc 7112
Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7148. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctssdc (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑠,𝑛

Proof of Theorem ctssdc
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → 𝑓:𝑠onto𝐴)
2 fof 5439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑠onto𝐴𝑓:𝑠𝐴)
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → 𝑓:𝑠𝐴)
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚𝑠) → 𝑚𝑠)
64, 5ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚𝑠) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
73ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
8 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚𝑠) → ∅ ∈ 𝑠)
97, 8ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
10 elequ1 2152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑠𝑚𝑠))
1110dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (DECID 𝑛𝑠DECID 𝑚𝑠))
12 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
13 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
1411, 12, 13rspcdva 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑚𝑠)
156, 9, 14ifcldadc 3564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
1615fmpttd 5672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω⟶𝐴)
1716ffnd 5367 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω)
18 fvelrnb 5564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
201ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑓:𝑠onto𝐴)
21 foelrn 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:𝑠onto𝐴𝑦𝐴) → ∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧))
2220, 21sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧))
23 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑠 ⊆ ω)
24 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))
25 elequ1 2152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑧 → (𝑚𝑠𝑧𝑠))
26 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑧 → (𝑓𝑚) = (𝑓𝑧))
2725, 26ifbieq1d 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑧 → if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)) = if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)))
2823sselda 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧 ∈ ω)
293ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
30 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧𝑠)
3129, 30ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑧𝑠) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐴)
323ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
3332ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ ¬ 𝑧𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
34 elequ1 2152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑠𝑧𝑠))
3534dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑧 → (DECID 𝑛𝑠DECID 𝑧𝑠))
36 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
3835, 37, 28rspcdva 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → DECID 𝑧𝑠)
3931, 33, 38ifcldadc 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
4024, 27, 28, 39fvmptd3 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)))
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧𝑠)
4241iftrued 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)) = (𝑓𝑧))
4340, 42eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓𝑧))
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓𝑧))
45 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → 𝑦 = (𝑓𝑧))
4644, 45eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
4746ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
4847reximdva 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧) → ∃𝑧𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
49 ssrexv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ⊆ ω → (∃𝑧𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
5023, 48, 49sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
5122, 50mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
5251ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦𝐴 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
53 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
553ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧𝑠)
5755, 56ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧𝑠) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐴)
5832ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑧𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
59 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
6035, 59, 54rspcdva 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → DECID 𝑧𝑠)
6157, 58, 60ifcldadc 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
6224, 27, 54, 61fvmptd3 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)))
6362, 61eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
6463adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
6553, 64eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝐴)
6665rexlimdva2 2597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦𝑦𝐴))
6752, 66impbid 129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
6819, 67bitr4d 191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ 𝑦𝐴))
6968eqrdv 2175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴)
70 df-fo 5223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴 ↔ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω ∧ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴))
7117, 69, 70sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴)
72 omex 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ω ∈ V
7372mptex 5743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ∈ V
74 foeq1 5435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) → (𝑔:ω–onto𝐴 ↔ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴))
7573, 74spcev 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴)
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴)
77 elex2 2754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
7832, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
79 ctm 7108 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴))
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴))
8176, 80mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
82 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑠 ⊆ ω)
8336adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
841adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠onto𝐴)
85 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ¬ ∅ ∈ 𝑠)
8682, 83, 84, 85ctssdclemn0 7109 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
87 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ∅ → (𝑛𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠))
8887dcbid 838 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ∅ → (DECID 𝑛𝑠DECID ∅ ∈ 𝑠))
89 peano1 4594 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
9089a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → ∅ ∈ ω)
9188, 36, 90rspcdva 2847 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → DECID ∅ ∈ 𝑠)
92 exmiddc 836 . . . . . . . . . 10 (DECID ∅ ∈ 𝑠 → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
9391, 92syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
9481, 86, 93mpjaodan 798 . . . . . . . 8 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
95943expia 1205 . . . . . . 7 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → (𝑓:𝑠onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
9695exlimdv 1819 . . . . . 6 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → (∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
97963impia 1200 . . . . 5 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
98973com23 1209 . . . 4 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
9998exlimiv 1598 . . 3 (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
100 foeq1 5435 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
101100cbvexv 1918 . . 3 (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
10299, 101sylib 122 . 2 (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
103 ctssdclemr 7111 . 2 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠))
104102, 103impbii 126 1 (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3130  c0 3423  ifcif 3535  cmpt 4065  ωcom 4590  ran crn 4628   Fn wfn 5212  wf 5213  ontowfo 5215  cfv 5217  1oc1o 6410  cdju 7036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-case 7083
This theorem is referenced by:  ctiunct  12441  ssomct  12446
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