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Theorem ctssdc 7111
Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7147. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctssdc (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑠,𝑛

Proof of Theorem ctssdc
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → 𝑓:𝑠onto𝐴)
2 fof 5438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑠onto𝐴𝑓:𝑠𝐴)
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → 𝑓:𝑠𝐴)
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
5 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚𝑠) → 𝑚𝑠)
64, 5ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚𝑠) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
73ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
8 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚𝑠) → ∅ ∈ 𝑠)
97, 8ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
10 elequ1 2152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑠𝑚𝑠))
1110dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (DECID 𝑛𝑠DECID 𝑚𝑠))
12 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
13 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
1411, 12, 13rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑚𝑠)
156, 9, 14ifcldadc 3563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
1615fmpttd 5671 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω⟶𝐴)
1716ffnd 5366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω)
18 fvelrnb 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
201ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑓:𝑠onto𝐴)
21 foelrn 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:𝑠onto𝐴𝑦𝐴) → ∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧))
2220, 21sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧))
23 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑠 ⊆ ω)
24 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))
25 elequ1 2152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑧 → (𝑚𝑠𝑧𝑠))
26 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑧 → (𝑓𝑚) = (𝑓𝑧))
2725, 26ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑧 → if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)) = if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)))
2823sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧 ∈ ω)
293ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
30 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧𝑠)
3129, 30ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑧𝑠) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐴)
323ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
3332ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ ¬ 𝑧𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
34 elequ1 2152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑠𝑧𝑠))
3534dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑧 → (DECID 𝑛𝑠DECID 𝑧𝑠))
36 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
3736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
3835, 37, 28rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → DECID 𝑧𝑠)
3931, 33, 38ifcldadc 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
4024, 27, 28, 39fvmptd3 5609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)))
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧𝑠)
4241iftrued 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)) = (𝑓𝑧))
4340, 42eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓𝑧))
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓𝑧))
45 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → 𝑦 = (𝑓𝑧))
4644, 45eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
4746ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑠) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
4847reximdva 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧) → ∃𝑧𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
49 ssrexv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ⊆ ω → (∃𝑧𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
5023, 48, 49sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝑠 𝑦 = (𝑓𝑧) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
5122, 50mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
5251ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦𝐴 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
53 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
553ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑓:𝑠𝐴)
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧𝑠) → 𝑧𝑠)
5755, 56ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧𝑠) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐴)
5832ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑧𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
59 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
6035, 59, 54rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → DECID 𝑧𝑠)
6157, 58, 60ifcldadc 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
6224, 27, 54, 61fvmptd3 5609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧𝑠, (𝑓𝑧), (𝑓‘∅)))
6362, 61eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
6463adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
6553, 64eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦𝐴)
6665rexlimdva2 2597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦𝑦𝐴))
6752, 66impbid 129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
6819, 67bitr4d 191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ 𝑦𝐴))
6968eqrdv 2175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴)
70 df-fo 5222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴 ↔ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω ∧ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴))
7117, 69, 70sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴)
72 omex 4592 . . . . . . . . . . . . 13 ω ∈ V
7372mptex 5742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) ∈ V
74 foeq1 5434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))) → (𝑔:ω–onto𝐴 ↔ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴))
7573, 74spcev 2832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚𝑠, (𝑓𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴)
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴)
77 elex2 2753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
7832, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
79 ctm 7107 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴))
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto𝐴))
8176, 80mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
82 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑠 ⊆ ω)
8336adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠)
841adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠onto𝐴)
85 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ¬ ∅ ∈ 𝑠)
8682, 83, 84, 85ctssdclemn0 7108 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
87 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = ∅ → (𝑛𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠))
8887dcbid 838 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ∅ → (DECID 𝑛𝑠DECID ∅ ∈ 𝑠))
89 peano1 4593 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
9089a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → ∅ ∈ ω)
9188, 36, 90rspcdva 2846 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → DECID ∅ ∈ 𝑠)
92 exmiddc 836 . . . . . . . . . 10 (DECID ∅ ∈ 𝑠 → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
9391, 92syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
9481, 86, 93mpjaodan 798 . . . . . . . 8 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠𝑓:𝑠onto𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
95943expia 1205 . . . . . . 7 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → (𝑓:𝑠onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
9695exlimdv 1819 . . . . . 6 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → (∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
97963impia 1200 . . . . 5 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
98973com23 1209 . . . 4 ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
9998exlimiv 1598 . . 3 (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
100 foeq1 5434 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
101100cbvexv 1918 . . 3 (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
10299, 101sylib 122 . 2 (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
103 ctssdclemr 7110 . 2 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠))
104102, 103impbii 126 1 (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠onto𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4064  ωcom 4589  ran crn 4627   Fn wfn 5211  wf 5212  ontowfo 5214  cfv 5216  1oc1o 6409  cdju 7035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-case 7082
This theorem is referenced by:  ctiunct  12440  ssomct  12445
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