Theorem ctssdc 7453

Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7490. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdc	⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑠,𝑛

Proof of Theorem ctssdc

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → 𝑓:𝑠–onto→𝐴)
2		fof 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓:𝑠–onto→𝐴 → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
4	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ 𝑠) → 𝑚 ∈ 𝑠)
6	4, 5	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
7	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
8		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑠) → ∅ ∈ 𝑠)
9	7, 8	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
10		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝑠 ↔ 𝑚 ∈ 𝑠))
11	10	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝑠))
12		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
13		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
14	11, 12, 13	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑚 ∈ 𝑠)
15	6, 9, 14	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
16	15	fmpttd 5863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω⟶𝐴)
17	16	ffnd 5534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω)
18		fvelrnb 5750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
20	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑠–onto→𝐴)
21		foelrn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧))
22	20, 21	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧))
23		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑠 ⊆ ω)
24		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))
25		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑠 ↔ 𝑧 ∈ 𝑠))
26		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → (𝑓‘𝑚) = (𝑓‘𝑧))
27	25, 26	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)) = if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)))
28	23	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ ω)
29	3	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ 𝑠)
31	29, 30	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝐴)
32	3	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
33	32	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
34		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∈ 𝑠 ↔ 𝑧 ∈ 𝑠))
35	34	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝑠))
36		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
37	36	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
38	35, 37, 28	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → DECID 𝑧 ∈ 𝑠)
39	31, 33, 38	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
40	24, 27, 28, 39	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)))
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ 𝑠)
42	41	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)) = (𝑓‘𝑧))
43	40, 42	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓‘𝑧))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓‘𝑧))
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑧))
46	44, 45	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
47	46	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
48	47	reximdva 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
49		ssrexv 3313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ 𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
50	23, 48, 49	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
51	22, 50	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
52	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
55	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ 𝑠)
57	55, 56	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝐴)
58	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
59		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
60	35, 59, 54	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → DECID 𝑧 ∈ 𝑠)
61	57, 58, 60	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
62	24, 27, 54, 61	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)))
63	62, 61	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
65	53, 64	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
66	65	rexlimdva2 2671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐴))
67	52, 66	impbid 129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
68	19, 67	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
69	68	eqrdv 2236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴)
70		df-fo 5383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴 ↔ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω ∧ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴))
71	17, 69, 70	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴)
72		omex 4740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ∈ V
73	72	mptex 5943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ∈ V
74		foeq1 5611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) → (𝑔:ω–onto→𝐴 ↔ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴))
75	73, 74	spcev 2920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴)
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴)
77		elex2 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
78	32, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
79		ctm 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴))
81	76, 80	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
82		simpl1 1031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑠 ⊆ ω)
83	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
84	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠–onto→𝐴)
85		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ¬ ∅ ∈ 𝑠)
86	82, 83, 84, 85	ctssdclemn0 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
87		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠))
88	87	dcbid 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ∅ → (DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ↔ DECID ∅ ∈ 𝑠))
89		peano1 4741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∅ ∈ ω)
91	88, 36, 90	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → DECID ∅ ∈ 𝑠)
92		exmiddc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID ∅ ∈ 𝑠 → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
94	81, 86, 93	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
95	94	3expia 1236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → (𝑓:𝑠–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
96	95	exlimdv 1872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → (∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
97	96	3impia 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
98	97	3com23 1240	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
99	98	exlimiv 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
100		foeq1 5611	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
101	100	cbvexv 1974	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
102	99, 101	sylib 122	. 2 ⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
103		ctssdclemr 7452	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠))
104	102, 103	impbii 126	1 ⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4192  ωcom 4737  ran crn 4775   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  –onto→wfo 5375  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680   ⊔ cdju 7377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424

This theorem is used by:  ctiunct  13333  ssomct  13338