Theorem ctssdc 7312

Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7349. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdc	⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑠,𝑛

Proof of Theorem ctssdc

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → 𝑓:𝑠–onto→𝐴)
2		fof 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓:𝑠–onto→𝐴 → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ 𝑠) → 𝑚 ∈ 𝑠)
6	4, 5	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
7	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
8		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑠) → ∅ ∈ 𝑠)
9	7, 8	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
10		elequ1 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝑠 ↔ 𝑚 ∈ 𝑠))
11	10	dcbid 845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ↔ DECID 𝑚 ∈ 𝑠))
12		simpll2 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
13		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
14	11, 12, 13	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑚 ∈ 𝑠)
15	6, 9, 14	ifcldadc 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑚 ∈ ω) → if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
16	15	fmpttd 5802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω⟶𝐴)
17	16	ffnd 5483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω)
18		fvelrnb 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
20	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑠–onto→𝐴)
21		foelrn 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧))
22	20, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧))
23		simpll1 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑠 ⊆ ω)
24		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))
25		elequ1 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → (𝑚 ∈ 𝑠 ↔ 𝑧 ∈ 𝑠))
26		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → (𝑓‘𝑚) = (𝑓‘𝑧))
27	25, 26	ifbieq1d 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑧 → if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)) = if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)))
28	23	sselda 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ ω)
29	3	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ 𝑠)
31	29, 30	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝐴)
32	3	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
33	32	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
34		elequ1 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∈ 𝑠 ↔ 𝑧 ∈ 𝑠))
35	34	dcbid 845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝑠))
36		simp2 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
38	35, 37, 28	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → DECID 𝑧 ∈ 𝑠)
39	31, 33, 38	ifcldadc 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
40	24, 27, 28, 39	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)))
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ 𝑠)
42	41	iftrued 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)) = (𝑓‘𝑧))
43	40, 42	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓‘𝑧))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = (𝑓‘𝑧))
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑓‘𝑧))
46	44, 45	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 = (𝑓‘𝑧)) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
47	46	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
48	47	reximdva 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
49		ssrexv 3292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ 𝑠 ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
50	23, 48, 49	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝑠 𝑦 = (𝑓‘𝑧) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
51	22, 50	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
52	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦)
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
55	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠⟶𝐴)
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → 𝑧 ∈ 𝑠)
57	55, 56	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝐴)
58	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑠) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
59		simpll2 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
60	35, 59, 54	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → DECID 𝑧 ∈ 𝑠)
61	57, 58, 60	ifcldadc 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)) ∈ 𝐴)
62	24, 27, 54, 61	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑧), (𝑓‘∅)))
63	62, 61	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) ∈ 𝐴)
65	53, 64	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
66	65	rexlimdva2 2653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐴))
67	52, 66	impbid 129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ ω ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅)))‘𝑧) = 𝑦))
68	19, 67	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑦 ∈ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
69	68	eqrdv 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴)
70		df-fo 5332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴 ↔ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) Fn ω ∧ ran (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) = 𝐴))
71	17, 69, 70	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴)
72		omex 4691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ω ∈ V
73	72	mptex 5880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) ∈ V
74		foeq1 5555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))) → (𝑔:ω–onto→𝐴 ↔ (𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴))
75	73, 74	spcev 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ↦ if(𝑚 ∈ 𝑠, (𝑓‘𝑚), (𝑓‘∅))):ω–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴)
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴)
77		elex2 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
78	32, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
79		ctm 7308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→𝐴))
81	76, 80	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
82		simpl1 1026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑠 ⊆ ω)
83	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠)
84	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑠–onto→𝐴)
85		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ¬ ∅ ∈ 𝑠)
86	82, 83, 84, 85	ctssdclemn0 7309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
87		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑛 ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠))
88	87	dcbid 845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = ∅ → (DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ↔ DECID ∅ ∈ 𝑠))
89		peano1 4692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∅ ∈ ω)
91	88, 36, 90	rspcdva 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → DECID ∅ ∈ 𝑠)
92		exmiddc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID ∅ ∈ 𝑠 → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → (∅ ∈ 𝑠 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑠))
94	81, 86, 93	mpjaodan 805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
95	94	3expia 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → (𝑓:𝑠–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
96	95	exlimdv 1867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → (∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
97	96	3impia 1226	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
98	97	3com23 1235	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
99	98	exlimiv 1646	. . 3 ⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
100		foeq1 5555	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
101	100	cbvexv 1967	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
102	99, 101	sylib 122	. 2 ⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
103		ctssdclemr 7311	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠))
104	102, 103	impbii 126	1 ⊢ (∃𝑠(𝑠 ⊆ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑠–onto→𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ω DECID 𝑛 ∈ 𝑠) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ifcif 3605   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  ran crn 4726   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  –onto→wfo 5324  ‘cfv 5326  1_oc1o 6575   ⊔ cdju 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-dju 7237  df-inl 7246  df-inr 7247  df-case 7283

This theorem is referenced by:  ctiunct  13066  ssomct  13071