Theorem hmeoopn 14479

Description: Homeomorphisms preserve openness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoopn.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hmeoopn	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem hmeoopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeoima 14478	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
2	1	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))
4		hmeocn 14473	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		cnima 14388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽)
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽))
7	4, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽))
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽))
9		hmeoopn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
10		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
11	9, 10	hmeof1o 14477	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ 𝐾)
12		f1of1 5499	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝐹:𝑋–1-1→∪ 𝐾)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1→∪ 𝐾)
14		f1imacnv 5517	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1→∪ 𝐾 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
15	13, 14	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
17	8, 16	sylibd 149	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → 𝐴 ∈ 𝐽))
18	3, 17	impbid 129	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153  ∪ cuni 3835  ^◡ccnv 4658   “ cima 4662  –1-1→wf1 5251  –1-1-onto→wf1o 5253  (class class class)co 5918   Cn ccn 14353  Homeochmeo 14468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-cn 14356  df-hmeo 14469

This theorem is referenced by: (None)