Theorem hmeoopn 13070

Description: Homeomorphisms preserve openness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoopn.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hmeoopn	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem hmeoopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeoima 13069	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾)
2	1	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))
3	2	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))
4		hmeocn 13064	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		cnima 12979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽)
6	5	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽))
7	4, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽))
8	7	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽))
9		hmeoopn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
10		eqid 2170	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
11	9, 10	hmeof1o 13068	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ 𝐾)
12		f1of1 5439	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝐹:𝑋–1-1→∪ 𝐾)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋–1-1→∪ 𝐾)
14		f1imacnv 5457	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1→∪ 𝐾 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
15	13, 14	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2239	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((◡𝐹 “ (𝐹 “ 𝐴)) ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
17	8, 16	sylibd 148	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾 → 𝐴 ∈ 𝐽))
18	3, 17	impbid 128	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  ∪ cuni 3794  ^◡ccnv 4608   “ cima 4612  –1-1→wf1 5193  –1-1-onto→wf1o 5195  (class class class)co 5851   Cn ccn 12944  Homeochmeo 13059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-map 6626  df-top 12755  df-topon 12768  df-cn 12947  df-hmeo 13060

This theorem is referenced by: (None)