ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccssico2 GIF version

Theorem iccssico2 9759
Description: Condition for a closed interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssico2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem iccssico2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 9706 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elmpocl1 5976 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32adantr 274 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41elmpocl2 5977 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantr 274 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61elixx3g 9713 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
76simprbi 273 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
87simpld 111 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶)
98adantr 274 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
101elixx3g 9713 . . . . 5 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
1110simprbi 273 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))
1211simprd 113 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
1312adantl 275 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
14 iccssico 9757 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
153, 5, 9, 13, 14syl22anc 1218 1 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 1481  {crab 2421  wss 3075   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  *cxr 7822   < clt 7823  cle 7824  [,)cico 9702  [,]cicc 9703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-ico 9706  df-icc 9707
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator