ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgscllem GIF version

Theorem lgscllem 13979
Description: The Legendre symbol is an element of 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
lgsfcl2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgscllem ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥   𝑥,𝐹   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
21lgsval 13976 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
3 lgsfcl2.z . . . . . . . 8 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
43lgslem2 13973 . . . . . . 7 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
54simp3i 1008 . . . . . 6 1 ∈ 𝑍
65a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑍)
74simp2i 1007 . . . . . 6 0 ∈ 𝑍
87a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ 𝑍)
9 zsqcl 10560 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10 1zzd 9253 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
11 zdceq 9301 . . . . . 6 (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
129, 10, 11syl2an2r 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
136, 8, 12ifcldcd 3567 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ 𝑍)
1413adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ∈ 𝑍)
154simp1i 1006 . . . . . 6 -1 ∈ 𝑍
1615a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -1 ∈ 𝑍)
17 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 0zd 9238 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
19 zdclt 9303 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
2017, 18, 19syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
21 zdclt 9303 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
2218, 21syldan 282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
23 dcan2 934 . . . . . 6 (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
2420, 22, 23sylc 62 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
2516, 6, 24ifcldcd 3567 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ 𝑍)
26 nnuz 9536 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
27 1zzd 9253 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 1 ∈ ℤ)
28 df-ne 2346 . . . . . . . 8 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
291, 3lgsfcl2 13978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
30293expa 1203 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
3128, 30sylan2br 288 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
3231ffvelcdmda 5643 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑍)
333lgslem3 13974 . . . . . . 7 ((𝑦𝑍𝑧𝑍) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝑍)
3433adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ (𝑦𝑍𝑧𝑍)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝑍)
3526, 27, 32, 34seqf 10431 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶𝑍)
36 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
3837neqned 2352 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
39 nnabscl 11077 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
4036, 38, 39syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
4135, 40ffvelcdmd 5644 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ 𝑍)
423lgslem3 13974 . . . 4 ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ 𝑍 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) ∈ 𝑍) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ 𝑍)
4325, 41, 42syl2an2r 595 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) ∈ 𝑍)
44 zdceq 9301 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
4517, 18, 44syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
4614, 43, 45ifcldadc 3561 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) ∈ 𝑍)
472, 46eqeltrd 2252 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345  {crab 2457  ifcif 3532  {cpr 3590   class class class wbr 3998  cmpt 4059  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966  cle 7967  cmin 8102  -cneg 8103   / cdiv 8602  cn 8892  2c2 8943  7c7 8948  8c8 8949  cz 9226   mod cmo 10292  seqcseq 10415  cexp 10489  abscabs 10974  cdvds 11762  cprime 12074   pCnt cpc 12251   /L clgs 13969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-proddc 11527  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-phi 12178  df-pc 12252  df-lgs 13970
This theorem is referenced by:  lgscl2  13984
  Copyright terms: Public domain W3C validator