Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninffeq GIF version

Theorem nninffeq 12897
Description: Equality of two functions on which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nninffeq.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ0)
nninffeq.g (𝜑𝐺:ℕ⟶ℕ0)
nninffeq.oo (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
nninffeq.n (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
Assertion
Ref Expression
nninffeq (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Proof of Theorem nninffeq
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninffeq.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ0)
21ffnd 5229 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
3 nninffeq.g . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℕ0)
43ffnd 5229 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℕ)
5 eqid 2113 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))
6 fveq2 5373 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
7 fveq2 5373 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
86, 7eqeq12d 2127 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
98ifbid 3457 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅))
10 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
11 1onn 6368 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → 1o ∈ ω)
13 peano1 4466 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ∅ ∈ ω)
151ffvelrnda 5507 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 9069 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
173ffvelrnda 5507 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 9069 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
19 zdceq 9024 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
2016, 18, 19syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
2112, 14, 20ifcldcd 3471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) ∈ ω)
225, 9, 10, 21fvmptd3 5466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅))
23 1lt2o 6291 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ 2o
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1o ∈ 2o)
25 0lt2o 6290 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 2o
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ∅ ∈ 2o)
271ffvelrnda 5507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 9069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
293ffvelrnda 5507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 9069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
31 zdceq 9024 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → DECID (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3324, 26, 32ifcldcd 3471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) ∈ 2o)
3433fmpttd 5527 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)):ℕ⟶2o)
35 2onn 6369 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ ω
3635elexi 2667 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ V
37 nninfex 12886 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
3836, 37elmap 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)):ℕ⟶2o)
3934, 38sylibr 133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚))
40 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
41 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
4240, 41eqeq12d 2127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))))
4342ifbid 3457 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
44 fconstmpt 4544 . . . . . . . . . . . . 13 (ω × {1o}) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
45 infnninf 6970 . . . . . . . . . . . . 13 (ω × {1o}) ∈ ℕ
4644, 45eqeltrri 2186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
4746a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ)
48 nninffeq.oo . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
49 eqidd 2114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → 1o = 1o)
5049cbvmptv 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
5150fveq2i 5376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
5250fveq2i 5376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
5348, 51, 523eqtr3g 2168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
5453iftrued 3445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) = 1o)
5554, 11syl6eqel 2203 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) ∈ ω)
565, 43, 47, 55fvmptd3 5466 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
5756, 54eqtrd 2145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
58 nninffeq.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
59 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
60 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
6159, 60eqeq12d 2127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))))
6261ifbid 3457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
63 nnnninf 6971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
6463ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
65 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
6665iftrued 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) = 1o)
6766, 11syl6eqel 2203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) ∈ ω)
685, 62, 64, 67fvmptd3 5466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
6968, 66eqtrd 2145 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
7069ex 114 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
7170ralimdva 2471 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
7339, 57, 72nninfall 12885 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
7473r19.21bi 2492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
7522, 74eqtr3d 2147 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = 1o)
7675adantr 272 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = 1o)
77 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
7877iffalsed 3448 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = ∅)
7976, 78eqtr3d 2147 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → 1o = ∅)
80 1n0 6281 . . . . . 6 1o ≠ ∅
8180neii 2282 . . . . 5 ¬ 1o = ∅
8281a1i 9 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ¬ 1o = ∅)
8379, 82pm2.65da 633 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ¬ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
84 exmiddc 804 . . . 4 (DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) ∨ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
8520, 84syl 14 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) ∨ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
8683, 85ecased 1308 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
872, 4, 86eqfnfvd 5473 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  c0 3327  ifcif 3438  {csn 3491  cmpt 3947  ωcom 4462   × cxp 4495  wf 5075  cfv 5079  (class class class)co 5726  1oc1o 6258  2oc2o 6259  𝑚 cmap 6494  xnninf 6953  0cn0 8875  cz 8952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1o 6265  df-2o 6266  df-map 6496  df-nninf 6955  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator