Theorem nninffeq 12897

Description: Equality of two functions on ℕ_∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninffeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ∞⟶ℕ0)
nninffeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ∞⟶ℕ0)
nninffeq.oo	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
nninffeq.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))))

Assertion

Ref	Expression
nninffeq	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Proof of Theorem nninffeq

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninffeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ∞⟶ℕ0)
2	1	ffnd 5229	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ∞)
3		nninffeq.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ∞⟶ℕ0)
4	3	ffnd 5229	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℕ∞)
5		eqid 2113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))
6		fveq2 5373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
7		fveq2 5373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
8	6, 7	eqeq12d 2127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
9	8	ifbid 3457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧), 1o, ∅))
10		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → 𝑧 ∈ ℕ∞)
11		1onn 6368	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → 1o ∈ ω)
13		peano1 4466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → ∅ ∈ ω)
15	1	ffvelrnda 5507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 9069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℤ)
17	3	ffvelrnda 5507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 9069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ)
19		zdceq 9024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
20	16, 18, 19	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → DECID (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
21	12, 14, 20	ifcldcd 3471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → if((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧), 1o, ∅) ∈ ω)
22	5, 9, 10, 21	fvmptd3 5466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = if((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧), 1o, ∅))
23		1lt2o 6291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ 2o
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → 1o ∈ 2o)
25		0lt2o 6290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 2o
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → ∅ ∈ 2o)
27	1	ffvelrnda 5507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 9069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
29	3	ffvelrnda 5507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 9069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℤ)
31		zdceq 9024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
32	28, 30, 31	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → DECID (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
33	24, 26, 32	ifcldcd 3471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ∞) → if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅) ∈ 2o)
34	33	fmpttd 5527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅)):ℕ∞⟶2o)
35		2onn 6369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ ω
36	35	elexi 2667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o ∈ V
37		nninfex 12886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ∞ ∈ V
38	36, 37	elmap 6523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↔ (𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅)):ℕ∞⟶2o)
39	34, 38	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
40		fveq2 5373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
41		fveq2 5373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
42	40, 41	eqeq12d 2127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))))
43	42	ifbid 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
44		fconstmpt 4544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ω × {1o}) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
45		infnninf 6970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ω × {1o}) ∈ ℕ∞
46	44, 45	eqeltrri 2186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞)
48		nninffeq.oo	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
49		eqidd 2114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 1o = 1o)
50	49	cbvmptv 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
51	50	fveq2i 5376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
52	50	fveq2i 5376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
53	48, 51, 52	3eqtr3g 2168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
54	53	iftrued 3445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) = 1o)
55	54, 11	syl6eqel 2203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) ∈ ω)
56	5, 43, 47, 55	fvmptd3 5466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
57	56, 54	eqtrd 2145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
58		nninffeq.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))))
59		fveq2 5373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))))
60		fveq2 5373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))))
61	59, 60	eqeq12d 2127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))))
62	61	ifbid 3457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) → if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
63		nnnninf 6971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
64	63	ad2antlr 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
65		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))) → (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))))
66	65	iftrued 3445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) = 1o)
67	66, 11	syl6eqel 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) ∈ ω)
68	5, 62, 64, 67	fvmptd3 5466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
69	68, 66	eqtrd 2145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
70	69	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
71	70	ralimdva 2471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
72	58, 71	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
73	39, 57, 72	nninfall 12885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℕ∞ ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
74	73	r19.21bi 2492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → ((𝑥 ∈ ℕ∞ ↦ if((𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
75	22, 74	eqtr3d 2147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → if((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧), 1o, ∅) = 1o)
76	75	adantr 272	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) ∧ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → if((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧), 1o, ∅) = 1o)
77		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) ∧ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
78	77	iffalsed 3448	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) ∧ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → if((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧), 1o, ∅) = ∅)
79	76, 78	eqtr3d 2147	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) ∧ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → 1o = ∅)
80		1n0 6281	. . . . . 6 ⊢ 1o ≠ ∅
81	80	neii 2282	. . . . 5 ⊢ ¬ 1o = ∅
82	81	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) ∧ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 1o = ∅)
83	79, 82	pm2.65da 633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → ¬ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
84		exmiddc 804	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧) ∨ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
85	20, 84	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → ((𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧) ∨ ¬ (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧)))
86	83, 85	ecased 1308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℕ∞) → (𝐹‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
87	2, 4, 86	eqfnfvd 5473	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∀wral 2388  ∅c0 3327  ifcif 3438  {csn 3491   ↦ cmpt 3947  ωcom 4462   × cxp 4495  ⟶wf 5075  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  1_oc1o 6258  2_oc2o 6259   ↑_𝑚 cmap 6494  ℕ_∞xnninf 6953  ℕ₀cn0 8875  ℤcz 8952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1o 6265  df-2o 6266  df-map 6496  df-nninf 6955  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953

This theorem is referenced by: (None)