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Theorem nninffeq 15066
Description: Equality of two functions on which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. Remark: the last two hypotheses can be grouped into one, (𝜑 → ∀𝑛 ∈ suc ω...). (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nninffeq.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ0)
nninffeq.g (𝜑𝐺:ℕ⟶ℕ0)
nninffeq.oo (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
nninffeq.n (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
Assertion
Ref Expression
nninffeq (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Proof of Theorem nninffeq
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninffeq.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ0)
21ffnd 5378 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
3 nninffeq.g . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℕ0)
43ffnd 5378 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℕ)
5 eqid 2187 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))
6 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
7 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
86, 7eqeq12d 2202 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
98ifbid 3567 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅))
10 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
11 1onn 6535 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → 1o ∈ ω)
13 peano1 4605 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ∅ ∈ ω)
151ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 9387 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
173ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 9387 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
19 zdceq 9342 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
2016, 18, 19syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
2112, 14, 20ifcldcd 3582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) ∈ ω)
225, 9, 10, 21fvmptd3 5622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅))
23 1lt2o 6457 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ 2o
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1o ∈ 2o)
25 0lt2o 6456 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 2o
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ∅ ∈ 2o)
271ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
293ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
31 zdceq 9342 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → DECID (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3324, 26, 32ifcldcd 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) ∈ 2o)
3433fmpttd 5684 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)):ℕ⟶2o)
35 2onn 6536 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ ω
3635elexi 2761 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ V
37 nninfex 7134 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
3836, 37elmap 6691 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)):ℕ⟶2o)
3934, 38sylibr 134 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚))
40 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
41 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
4240, 41eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))))
4342ifbid 3567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
44 infnninf 7136 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
4544a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ)
46 nninffeq.oo . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
47 eqidd 2188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → 1o = 1o)
4847cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
4948fveq2i 5530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
5048fveq2i 5530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
5146, 49, 503eqtr3g 2243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
5251iftrued 3553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) = 1o)
5352, 11eqeltrdi 2278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) ∈ ω)
545, 43, 45, 53fvmptd3 5622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
5554, 52eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
56 nninffeq.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
57 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
58 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
5957, 58eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))))
6059ifbid 3567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
61 nnnninf 7138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
6261ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
6463iftrued 3553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) = 1o)
6564, 11eqeltrdi 2278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) ∈ ω)
665, 60, 62, 65fvmptd3 5622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
6766, 64eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
6867ex 115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
6968ralimdva 2554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
7056, 69mpd 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
7139, 55, 70nninfall 15055 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
7271r19.21bi 2575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
7322, 72eqtr3d 2222 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = 1o)
7473adantr 276 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = 1o)
75 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
7675iffalsed 3556 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = ∅)
7774, 76eqtr3d 2222 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → 1o = ∅)
78 1n0 6447 . . . . . 6 1o ≠ ∅
7978neii 2359 . . . . 5 ¬ 1o = ∅
8079a1i 9 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ¬ 1o = ∅)
8177, 80pm2.65da 662 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ¬ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
82 exmiddc 837 . . . 4 (DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) ∨ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
8320, 82syl 14 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) ∨ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
8481, 83ecased 1359 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
852, 4, 84eqfnfvd 5629 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465  c0 3434  ifcif 3546  cmpt 4076  ωcom 4601  wf 5224  cfv 5228  (class class class)co 5888  1oc1o 6424  2oc2o 6425  𝑚 cmap 6662  xnninf 7132  0cn0 9190  cz 9267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1o 6431  df-2o 6432  df-map 6664  df-nninf 7133  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268
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