Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninffeq GIF version

Theorem nninffeq 13410
 Description: Equality of two functions on ℕ∞ which agree at every integer and at the point at infinity. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nninffeq.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ0)
nninffeq.g (𝜑𝐺:ℕ⟶ℕ0)
nninffeq.oo (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
nninffeq.n (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
Assertion
Ref Expression
nninffeq (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑛,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Proof of Theorem nninffeq
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninffeq.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ0)
21ffnd 5282 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
3 nninffeq.g . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℕ0)
43ffnd 5282 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℕ)
5 eqid 2140 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))
6 fveq2 5430 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
7 fveq2 5430 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
86, 7eqeq12d 2155 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
98ifbid 3499 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅))
10 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
11 1onn 6425 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
1211a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → 1o ∈ ω)
13 peano1 4517 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ∅ ∈ ω)
151ffvelrnda 5564 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 9215 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
173ffvelrnda 5564 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐺𝑧) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 9215 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
19 zdceq 9170 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
2016, 18, 19syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
2112, 14, 20ifcldcd 3513 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) ∈ ω)
225, 9, 10, 21fvmptd3 5523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅))
23 1lt2o 6348 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ 2o
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1o ∈ 2o)
25 0lt2o 6347 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 2o
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ∅ ∈ 2o)
271ffvelrnda 5564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 9215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
293ffvelrnda 5564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 9215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
31 zdceq 9170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℤ) → DECID (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → DECID (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3324, 26, 32ifcldcd 3513 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) ∈ 2o)
3433fmpttd 5584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)):ℕ⟶2o)
35 2onn 6426 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ ω
3635elexi 2702 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ V
37 nninfex 13399 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
3836, 37elmap 6580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)):ℕ⟶2o)
3934, 38sylibr 133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅)) ∈ (2o𝑚))
40 fveq2 5430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
41 fveq2 5430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
4240, 41eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))))
4342ifbid 3499 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
44 fconstmpt 4595 . . . . . . . . . . . . 13 (ω × {1o}) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
45 infnninf 7032 . . . . . . . . . . . . 13 (ω × {1o}) ∈ ℕ
4644, 45eqeltrri 2214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ
4746a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ)
48 nninffeq.oo . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)))
49 eqidd 2141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → 1o = 1o)
5049cbvmptv 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ω ↦ 1o) = (𝑤 ∈ ω ↦ 1o)
5150fveq2i 5433 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
5250fveq2i 5433 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺‘(𝑥 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o))
5348, 51, 523eqtr3g 2196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)))
5453iftrued 3487 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) = 1o)
5554, 11eqeltrdi 2231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅) ∈ ω)
565, 43, 47, 55fvmptd3 5523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = if((𝐹‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = (𝐺‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)), 1o, ∅))
5756, 54eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑤 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
58 nninffeq.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
59 fveq2 5430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
60 fveq2 5430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
6159, 60eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))))
6261ifbid 3499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) → if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
63 nnnninf 7033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
6463ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
65 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))))
6665iftrued 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) = 1o)
6766, 11eqeltrdi 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅) ∈ ω)
685, 62, 64, 67fvmptd3 5523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = if((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))), 1o, ∅))
6968, 66eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ω) ∧ (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
7069ex 114 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
7170ralimdva 2503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = (𝐺‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o))
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅))) = 1o)
7339, 57, 72nninfall 13398 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
7473r19.21bi 2524 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ if((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥), 1o, ∅))‘𝑧) = 1o)
7522, 74eqtr3d 2175 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = 1o)
7675adantr 274 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = 1o)
77 simpr 109 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
7877iffalsed 3490 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → if((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧), 1o, ∅) = ∅)
7976, 78eqtr3d 2175 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → 1o = ∅)
80 1n0 6338 . . . . . 6 1o ≠ ∅
8180neii 2311 . . . . 5 ¬ 1o = ∅
8281a1i 9 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ¬ 1o = ∅)
8379, 82pm2.65da 651 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ¬ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
84 exmiddc 822 . . . 4 (DECID (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) ∨ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
8520, 84syl 14 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑧) = (𝐺𝑧) ∨ ¬ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
8683, 85ecased 1328 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))
872, 4, 86eqfnfvd 5530 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∅c0 3369  ifcif 3480  {csn 3533   ↦ cmpt 3998  ωcom 4513   × cxp 4546  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  1oc1o 6315  2oc2o 6316   ↑𝑚 cmap 6551  ℕ∞xnninf 7015  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1o 6322  df-2o 6323  df-map 6553  df-nninf 7017  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator