Theorem iftrue 3567

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3563	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlema 971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2315	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2248	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-if 3563

This theorem is referenced by:  iftruei  3568  iftrued  3569  ifsbdc  3574  ifcldadc  3591  ifbothdadc  3594  ifbothdc  3595  ifiddc  3596  ifcldcd  3598  ifnotdc  3599  ifandc  3600  ifordc  3601  ifnefals  3604  pw2f1odclem  6904  fidifsnen  6940  nnnninf  7201  nnnninf2  7202  mkvprop  7233  uzin  9653  fzprval  10176  fztpval  10177  modifeq2int  10497  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  bcval  10860  bcval2  10861  sumrbdclem  11561  fsum3cvg  11562  summodclem2a  11565  isumss2  11577  fsum3ser  11581  fsumsplit  11591  sumsplitdc  11616  prodrbdclem  11755  fproddccvg  11756  iprodap  11764  iprodap0  11766  prodssdc  11773  fprodsplitdc  11780  flodddiv4  12120  gcd0val  12154  dfgcd2  12208  eucalgf  12250  eucalginv  12251  eucalglt  12252  phisum  12436  pc0  12500  pcgcd  12525  pcmptcl  12538  pcmpt  12539  pcmpt2  12540  pcprod  12542  fldivp1  12544  1arithlem4  12562  unct  12686  xpsfrnel  13048  znf1o  14285  dvexp2  15034  elply2  15057  elplyd  15063  ply1termlem  15064  lgsval2lem  15337  lgsneg  15351  lgsdilem  15354  lgsdir2  15360  lgsdir  15362  lgsdi  15364  lgsne0  15365  gausslemma2dlem1a  15385  2lgslem1c  15417  2lgslem3  15428  2lgs  15431  nnsf  15738  nninfsellemsuc  15745