Theorem iftrue 3524

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3520	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlema 959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2284	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2217	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cab 2151  ifcif 3519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-if 3520

This theorem is referenced by:  iftruei  3525  iftrued  3526  ifsbdc  3531  ifcldadc  3548  ifbothdadc  3550  ifbothdc  3551  ifiddc  3552  ifcldcd  3554  ifnotdc  3555  ifandc  3556  fidifsnen  6832  nnnninf  7086  nnnninf2  7087  mkvprop  7118  uzin  9494  fzprval  10013  fztpval  10014  modifeq2int  10317  bcval  10658  bcval2  10659  sumrbdclem  11314  fsum3cvg  11315  summodclem2a  11318  isumss2  11330  fsum3ser  11334  fsumsplit  11344  sumsplitdc  11369  prodrbdclem  11508  fproddccvg  11509  iprodap  11517  iprodap0  11519  prodssdc  11526  fprodsplitdc  11533  flodddiv4  11867  gcd0val  11889  dfgcd2  11943  eucalgf  11983  eucalginv  11984  eucalglt  11985  phisum  12168  pc0  12232  pcgcd  12256  pcmptcl  12268  pcmpt  12269  pcmpt2  12270  pcprod  12272  fldivp1  12274  1arithlem4  12292  unct  12371  dvexp2  13276  lgsval2lem  13511  lgsneg  13525  lgsdilem  13528  lgsdir2  13534  lgsdir  13536  lgsdi  13538  lgsne0  13539  nnsf  13845  nninfsellemsuc  13852