Theorem iftrue 3540

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3536	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlema 969	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2296	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2229	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ifcif 3535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-if 3536

This theorem is referenced by:  iftruei  3541  iftrued  3542  ifsbdc  3547  ifcldadc  3564  ifbothdadc  3567  ifbothdc  3568  ifiddc  3569  ifcldcd  3571  ifnotdc  3572  ifandc  3573  ifordc  3574  fidifsnen  6870  nnnninf  7124  nnnninf2  7125  mkvprop  7156  uzin  9560  fzprval  10082  fztpval  10083  modifeq2int  10386  bcval  10729  bcval2  10730  sumrbdclem  11385  fsum3cvg  11386  summodclem2a  11389  isumss2  11401  fsum3ser  11405  fsumsplit  11415  sumsplitdc  11440  prodrbdclem  11579  fproddccvg  11580  iprodap  11588  iprodap0  11590  prodssdc  11597  fprodsplitdc  11604  flodddiv4  11939  gcd0val  11961  dfgcd2  12015  eucalgf  12055  eucalginv  12056  eucalglt  12057  phisum  12240  pc0  12304  pcgcd  12328  pcmptcl  12340  pcmpt  12341  pcmpt2  12342  pcprod  12344  fldivp1  12346  1arithlem4  12364  unct  12443  xpsfrnel  12763  dvexp2  14179  lgsval2lem  14414  lgsneg  14428  lgsdilem  14431  lgsdir2  14437  lgsdir  14439  lgsdi  14441  lgsne0  14442  nnsf  14757  nninfsellemsuc  14764