Theorem iftrue 3610

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3606	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlema 977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2350	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2283	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ifcif 3605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3606

This theorem is referenced by:  iftruei  3611  iftrued  3612  ifsbdc  3618  ifcldadc  3635  ifeqdadc  3638  ifbothdadc  3639  ifbothdc  3640  ifiddc  3641  ifcldcd  3643  ifnotdc  3644  2if2dc  3645  ifandc  3646  ifordc  3647  ifnefals  3650  pw2f1odclem  7020  fidifsnen  7057  nnnninf  7325  nnnninf2  7326  mkvprop  7357  iftrueb01  7441  uzin  9789  fzprval  10317  fztpval  10318  modifeq2int  10649  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  bcval  11012  bcval2  11013  ccatval1  11175  ccatalpha  11191  swrdccat  11317  pfxccat3a  11320  swrdccat3b  11322  sumrbdclem  11940  fsum3cvg  11941  summodclem2a  11944  isumss2  11956  fsum3ser  11960  fsumsplit  11970  sumsplitdc  11995  prodrbdclem  12134  fproddccvg  12135  iprodap  12143  iprodap0  12145  prodssdc  12152  fprodsplitdc  12159  flodddiv4  12499  gcd0val  12533  dfgcd2  12587  eucalgf  12629  eucalginv  12630  eucalglt  12631  phisum  12815  pc0  12879  pcgcd  12904  pcmptcl  12917  pcmpt  12918  pcmpt2  12919  pcprod  12921  fldivp1  12923  1arithlem4  12941  unct  13065  xpsfrnel  13429  znf1o  14668  dvexp2  15439  elply2  15462  elplyd  15468  ply1termlem  15469  lgsval2lem  15742  lgsneg  15756  lgsdilem  15759  lgsdir2  15765  lgsdir  15767  lgsdi  15769  lgsne0  15770  gausslemma2dlem1a  15790  2lgslem1c  15822  2lgslem3  15833  2lgs  15836  opvtxval  15875  opiedgval  15878  depindlem1  16346  nnsf  16628  nninfsellemsuc  16635