Theorem iftrue 3563

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3559	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlema 971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2312	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2245	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ifcif 3558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-if 3559

This theorem is referenced by:  iftruei  3564  iftrued  3565  ifsbdc  3570  ifcldadc  3587  ifbothdadc  3590  ifbothdc  3591  ifiddc  3592  ifcldcd  3594  ifnotdc  3595  ifandc  3596  ifordc  3597  ifnefals  3600  pw2f1odclem  6892  fidifsnen  6928  nnnninf  7187  nnnninf2  7188  mkvprop  7219  uzin  9628  fzprval  10151  fztpval  10152  modifeq2int  10460  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  bcval  10823  bcval2  10824  sumrbdclem  11523  fsum3cvg  11524  summodclem2a  11527  isumss2  11539  fsum3ser  11543  fsumsplit  11553  sumsplitdc  11578  prodrbdclem  11717  fproddccvg  11718  iprodap  11726  iprodap0  11728  prodssdc  11735  fprodsplitdc  11742  flodddiv4  12078  gcd0val  12100  dfgcd2  12154  eucalgf  12196  eucalginv  12197  eucalglt  12198  phisum  12381  pc0  12445  pcgcd  12470  pcmptcl  12483  pcmpt  12484  pcmpt2  12485  pcprod  12487  fldivp1  12489  1arithlem4  12507  unct  12602  xpsfrnel  12930  znf1o  14150  dvexp2  14891  elply2  14914  elplyd  14920  ply1termlem  14921  lgsval2lem  15167  lgsneg  15181  lgsdilem  15184  lgsdir2  15190  lgsdir  15192  lgsdi  15194  lgsne0  15195  gausslemma2dlem1a  15215  2lgslem1c  15247  2lgslem3  15258  2lgs  15261  nnsf  15565  nninfsellemsuc  15572