Theorem iftrue 3531

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3527	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlema 964	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2289	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2222	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cab 2156  ifcif 3526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-if 3527

This theorem is referenced by:  iftruei  3532  iftrued  3533  ifsbdc  3538  ifcldadc  3555  ifbothdadc  3557  ifbothdc  3558  ifiddc  3559  ifcldcd  3561  ifnotdc  3562  ifandc  3563  ifordc  3564  fidifsnen  6848  nnnninf  7102  nnnninf2  7103  mkvprop  7134  uzin  9519  fzprval  10038  fztpval  10039  modifeq2int  10342  bcval  10683  bcval2  10684  sumrbdclem  11340  fsum3cvg  11341  summodclem2a  11344  isumss2  11356  fsum3ser  11360  fsumsplit  11370  sumsplitdc  11395  prodrbdclem  11534  fproddccvg  11535  iprodap  11543  iprodap0  11545  prodssdc  11552  fprodsplitdc  11559  flodddiv4  11893  gcd0val  11915  dfgcd2  11969  eucalgf  12009  eucalginv  12010  eucalglt  12011  phisum  12194  pc0  12258  pcgcd  12282  pcmptcl  12294  pcmpt  12295  pcmpt2  12296  pcprod  12298  fldivp1  12300  1arithlem4  12318  unct  12397  dvexp2  13470  lgsval2lem  13705  lgsneg  13719  lgsdilem  13722  lgsdir2  13728  lgsdir  13730  lgsdi  13732  lgsne0  13733  nnsf  14038  nninfsellemsuc  14045